Analisi matematica di base

Siano \( a_1,a_2\in \mathbb R \). Sia \( x_n = \sqrt{n+ a_1}\sqrt{n + a_2} \), per \( n\in \mathbb N \). Perché \[ x_n = 1 + \frac{a_1 + a_2}{2n} + O\Bigl(\frac{1}{n^2}\Bigr)\text{?} \tag{1} \] Quello so dire è che \[ \sqrt{1 + \frac{a_i}{n}} = 1 + \frac{a_i}{2n} + o\Bigl(\frac1n\Bigl) \] e quindi che \[ \sqrt{1 + \frac{a_i}{n}} = 1 + \frac{a_i}{2n} + O\Bigl(\frac1n\Bigl) \] per \( i = 1,2 \). Adesso ho quindi \[ x_n = n^2\Bigl(1 + \frac{a_1}{2n} + O\Bigl(\frac1n\Bigl)\Bigr)\Bigl(1 + ...

Ciao, Posso per favore chiedere aiuto per lo studio dei limiti di questa funzione: $f(x) = log(x^2 - 1) + 1/(x^2-1)$ Non riesco a trovare il procedimento per studiare i limiti agli estremi del dominio. Cioè in: $-1^-$ $+1^+$ $-\infty$ $+\infty$ Nei primi due casi ogni cosa che provo ottengo sempre una forma indeterminata. Grazie in antico per l'aiuto.

sapreste aiutarmi a risolvere quest'esercizio? Data la funzione f(x,y) = xy e dato il vincolo g(x,y) = $4x^2 + 9y^2 -32$ Determina gli eventuali punti di min/max vincolato di f sotto il vincolo g. Per la risoluzione è richiesto di utilizzare lagrange e il metodo dell'hessiano orlato. vi ringrazio anticipatamente.

Buonasera, non riesco a risolvere quest'esercizio trova i punti di min/max vincolati della funzione f(x,y)=$(x+y)^3$ sotto il vincolo $x^2 + y^2 -2$, per la risoluzione mi è richiesto di utilizzare il metodo dell'hessiano orlato. Inoltre dovrei individuare i punti in cui la condizione sufficiente dell'hessiano orlato è inconclusiva. sapreste darmi una mano? vi ringrazio anticipatamente

L'argomento di un numero complesso z dovrebbe essere un angolo compreso tra $ [0,2pi[ $ Ma nelle spiegazioni della definizione della funzione logaritmo complesso ( o anche della funzione esponenziale complesso che è periodica ) vengono considerati numeri complessi il cui argomento Arg(z) appartiene a strisce orizzontali del piano Oxy , ad esempio $ y0 ≤ y < y0 +2pi $ Ma tale striscia comprende dei tratti dell'asse verticale immaginario , che non sono angoli! $ y $ non è la ...

buongiorno, non riesco a risolvere questo limite di una funzione in due variabili. $\lim_{(x,y) \to \(0,0)} [1-cos(x^2$+$y^2)]$ / $(x^4+y^4)$ dovrei studiarlo, e se esiste determinarne il valore il segno "/" indica una frazione, però purtroppo non ho ancora capito come riuscire a convertirlo tramite formule su questo forum. vi ringrazio anticipatamente

Buonasera, non riesco a risolvere quest'esercizio. dovrei calcolare la derivata direzionale della seguente funzione f(x,y)= $(x^2 - 3y^2) / (2x+y)$ nel punto xo= (0,1) nella direzione del versore v=($1/sqrt(2)$, $1/sqrt(2)$) utilizzando la definizione di derivata direzionale. purtroppo sono nuovo e non sono molto abile con i comandi del forum. vi ringrazio anticipatamente, spero che possiate aiutarmi

Ciao a tutti. Ho svolto questo integrale in due modi,ossia mediante l'uso delle formule di Green-Gauss e la parametrizzazione della curva. Il testo dice quanto segue: Calcolare l'integrale $\int_\gamma sin(x+y)dx+cos(x-y)$ dove $\gamma$ è la curva costituita dai lati di un triangolo di vertici $P_0=(0,0), P_1=(1,0),P_2=(0,1)$ percorsa in senso orario. Si tratta di un dominio chiuso. -Gauss/Green: svolgo ill seguente integrale: $\int\int -sin(x-y)-cos(x+y)dxdy$ $\Rightarrow$ $\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}-sin(x-y)-cos(x+y)dy$ Quello che ottengo però è un ...

Salve a tutti, stavo studiando l'argomento delle curve e stavo cercando di capire la definizione di curve non equivalenti ma con stesso sostegno. La definizione di curve equivalenti la ho ben chiara, cioè quando esiste un diffeomorfismo da cui posso passare da una curva all'altra. Volevo chiedervi se mi poteste fare un esempio di curve non equivalenti ma con stesso sostegno per capire meglio l'argomento. Grazie mille per l'aiuto.

Se spendo 2/3 del mio capitale per comprare un orologio e 118 per comprare un vestito restando con 20 euro, a quanto ammontava il mio capitale prima di questi 2 acquisti?

Salve a tutti. Sto cercando di svolgere quest'esercizio sullo studio di funzione. Vi scrivo quello che sono riuscito a fare: PS:(scusate se l'equazione non è ben scritta) \begin{equation} z=\begin{cases} e^(-y/x)+y^2/x^2+x/y & \mathrm{se}\ (x,y)=(0,0)\\ 1& \mathrm{se}\ (x,y)\neq(0,0) \end{cases} \end{equation} Nell'insieme: $D={(x,y)\inR^2: x>=0.y>=0,x+y<=1,1/2x<=y<=2x}$ Ho dunque un dominio chiuso e limitato da tre rette. Per studiare se la funzione è continua ho fatto in questo modo: ...

Ciao a tutti, Data la seguente funzione: $f(x,y,t)= exp (-(3t^2(|x|^2+|y|^2)+ (2t^7 <x,y>) + 8t^9))$ Dovrei calcolare: $g(x,y)= (partial^2f)/(partial x^2) + (partial^2f)/(partial y^2)$ Se $x$ e $y$ fossero variabili unidimensionali, non avrei nessun problema ad effettuare questo calcolo. Tuttavia sul testo leggo scritto che: $x in RR^n$ e che $y in RR^n$ Non saprei come muovervi. Ad esempio, essendo $y$ n-dimensionale, ciò vorrebbe dire che: $|y|= sqrt(y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2)$ Chiaramente saprei scrivere $(partial^2|y|)/(partial y_i^2)$ per ogni ...

Sto studiando la dimostrazione della formula di riduzione degli integrali doppi e sono bloccato alla seguente maggiorazione: Siano $ a $ le somme integrali inferiori $ b $ le somme integrali superiori $ c $ l’integrale doppio di una funzione $ d $ l’integrale iterato della stessa Ho già provato che $ a\lec\leb $ e $ a\led\leb $ Non riesco a capire come queste due relazioni equivalgono a $ \abs(c-d)\leb-a $ Il testo che utilizzo è ...

Buongiorno. Vorrei avere dei chiarimenti su come si trovano i massimi e minimi relativi e assoluti in una funzione a due variabili. Per trovare un massimo o un minimo relativo (correggetemi se sbaglio), trovo le derivate prime della mia funzione di partenza, le impongo uguali a 0, e trovo i punti critici. Successivamente determino le derivate seconde e costruisco la matrice hessiana. Sostituisco alla matrice hessiana i punti che ho trovato dal sistema, se l'hessiana è definita positiva è ...

HELP CON QUESTI ESERCIZI x(x-3)+2/3x(2-x) >10-2x L ALTRA è (x^2-4)(x^3-5x^2+6x)>=0 e l ultima 2/x^2-9 - 1/x^3-3x>=0

Ciao, ho trovato in un esempio lo spazio parametrico rappresentato così: $\Theta = (0,1) sube RR$ Non dovrebbe esserci $RR^+$, piuttosto che $RR$? Se non ho capito male, con l'aperta parentesi tonda non includo lo zero... Se un qualcosa è $>=0$ dovrei scrivere che appartiene a $RR$, altrimenti se $>0$ non è $RR^+$? Grazie in anticipo

Ciao ragazzi. Ho un dubbio riguardo quest'esercizio: $f(x,y)=(1-xy)^2$ nell'insieme $ E={(x,y)\inR^2 | x^2+y^2/4<=1}$ Facendo il gradiente: $\nablaf(x,y)=0$ ottengo i seguenti punti: $Po=(0,0)$, $P_1=(h,1/h)$. Ho un punto di sella $Po=(0,0)$ e un Hessiano nullo per $P_1$. Facendo il $\trianglef(x,y)= f(x,y)-f(h,1/h)=f(x,y)$, quindi $f(x,y)=(1-xy)^2>=0$ A questo punto...La funzione è sempre positiva, ma non capisco come applicarlo al punto $P_1$. Cioè come stabilisco se è massimo o minimo o ...

Salve. Ho un dubbio riguardo al punto stazionario di questa funzione definita nell'insieme $E={(x,y)\inR^2 | (x-1)^2+(y-1)^2<=1} $ Con il gradiente ottengo il punto $Po=(0,0)$ e risulta essere un massimo. Solo che...Essendo il dominio E una circonferenza di centro $C=(1,1) $ e raggio 1, $Po\notinE$. O sbaglio? I punti stazionari calcolati su E non dovrebbero appartenervi?

Salve, ho un problema con questo esercizio di Analisi, il testo dell’esercizio dato dalla Prof.ssa è questo: - Premessa. Dato $a in RR$, diremo che una funzione $f: (a, +\infty) \to RR$ ha la proprietà se soddisfa le seguenti condizioni: 1. f è continua e crescente in $(a, +\infty)$; 2. $lim_(x->+\infty) f(x) = +\infty$; 3. $lim_(x->+\infty) f(x^3) / f(x) = 1$; Esercizio: 1) Dare un esempio di una funzione con la proprietà ; 2) Dimostrare che se una funzione f ha la proprietà allora $lim_(x->+\infty) f(x^2) / f(x) = 1$. Questo è ...

rovare i primi quattro termini della serie di Taylor per tg(π/4 − z). (Ci vuole un’espansione in potenze di z, valida quando z abbia valori piccoli).