Analisi matematica di base

Sia \( f\colon A\to F \) una funzione di un sottoinsieme aperto \( A \) di uno spazio normato \( E \) a valori in un prodotto \( \prod_{i = 1}^mF_i \) di \( m \) spazi normati \(F_i \). Voglio provare che \( f \) è differenziabile con continuità su tutto il suo dominio se e solo se lo sono le sue \( m \) componenti \( f_i = \pi_i\circ f\colon A\to F_i \). Prima di procedere, dico che denoto con \( Df \) il differenziale di \( F \), e con \( \hom(E,F) \) lo spazio delle funzioni lineari ...

Buonasera a tutti Vorrei trovare una funzione f(x)∈C¹ così definita: f(x) = Kx se x≤x0, ln(x) altrimenti Per capirci, qualcosa del genere: quindi devo determinare K ed x0 Ho fatto qualche tentativo ed ho ottenuto dei risultati intermedi (c'è di mezzo la funzione di Lambert W) ma non sono arrivato a conclusione. Potete aiutarmi spiegandomi anche il procedimento per cortesia? Grazie

Sia \( \gamma\colon \left[a,b\right]\to F \) una curva (=funzione continua) a valori in uno spazio normato \( F \) (chi vuole faccia pure \( F = \mathbb R^n \)). Fissato un qualche \( m > 0 \) e posto \[ A_\epsilon = \left\{t\in \left[a,b\right] : \lVert \gamma(t) - \gamma(a)\rVert \leqq (m + \epsilon)(t - a) + \epsilon\right\} \] dev'essere che \( l = \sup A_\epsilon\in A_\epsilon \). Sto impazzendo: perché? Sicuramente \( A_\epsilon \) è non vuoto (perché \( \gamma \) è continua in \( a ...

Premetto di aver già postato un esercizio simile un po' di tempo fa, solo che la situazione era leggermente diversa (il caso era quello opposto di dimostrare l'esistenza di punto di minimo per una funzione e le ipotesi erano leggermente più generali). L'esercizio in questione è questo: Sia $f \in C^0(RR) t.c. f(0)>0$ e sia inoltre tale che: $\lim_(x\to+oo)f(x)=\lim_(x\to-oo)f(x)=-oo$ Allora $f$ ammette un p.to di massimo assoluto $x_0$ e $f(x_0)>0$ Mi son fatto una specie di disegno e grazie agli ...

Non capisco perchè tra i requisiti delle spline di grado $m$, dati $k+1$ punti reali $x_0<x_1<...<x_k$ e noti i relativi valori reali $f(x_i)$ $i=0,1,...k$ deve esserci questo requisito: $S_m(x) in C^(m-1)($ $[x_0 , x_k]$ $)$ perchè la continuità delle derivate fino al grado $m-1$ ?

Mi sono bloccata su questo esercizio, spero in un vostro aiuto: "Determinare l'area di quella parte di superficie cilindrica di equazione $ x^2+y^2=2ay $ che si trova dentro la sfera di raggio 2a con a>0." Ora io ho pensato di considerare $ z=(4a^2-x^2-y^2)^(1/2) $ e calcolare l'integrale doppio di $ (1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2)^(1/2) $ sulla superficie $ x^2+(y-a)^2<=a^2 $ per poi moltiplicarlo per 2 visto che quando ho scelto z ho considerato solo la semisfera superiore. Qui mi perdo, se il cilindro avesse il centro in ...

ciao a tutti, non riesco a risolvere questo integrale improprio, qualcuno mi potrebbe aiutare? Stabilire il carattere del seguente integrale improprio e calcolare il suo valore: $ int_(1)^(+oo ) (log(2+x^(1/2)))/x^(3/2) dx $ non saprei come procedere... so che dovrei fare il limite $b->oo$ di $ int_(1)^(b ) (log(2+x^(1/2)))/x^(3/2) dx $ e calcolare l'integrale ho provato a procedere con un integrazione per parti ponendo $f(x)=log(2+x^(1/2))$ e $g'(x)=1/x^(3/2)$ ma sono giunta a un punto morto e non so come fare... Qualcuno mi potrebbe ...

Salve a tutti, vorrei proporvi un esercizio proposto all'esame di analisi 1 del mio corso che mi sta dando alcuni problemi (uno studio di funzione non troppo banale). La consegna era più o meno questa Si studi la seguente funzione e disegnane un grafico qualitativo: $\int_0^x root(3)t*e^-tdt$ Io sono partito in questo modo: $f \in C^1(RR)$, dove con questa notazione il mio professore intende una funzione derivabile (fino all'ordine 1) su tutto $RR$ e ivi continua. Dunque ho che ...

Buonasera a tutti, Supponete di avere una tabella in cui sono riportati i valori assunti da una funzione di una variabile per incrementi dell'argomento pari a 0.1. Ad esempio: $sin^-1(0)=0$ $sin^-1(0.1)=0.10017$ $sin^-1(0.2)=0.20136$ $...$ Qual è il metodo più veloce per ottenere una buona approssimazione del valore assunto per incrementi dell'argomento, ad esempio, pari a 0.05? In sostanza, vi serve $sin^-1(0.15)$ e conoscete soltanto i valori tabellati sopra. Cosa fate? Non mi ...

Salve! Ho parzialmente risolto questa equazione differenziale: $2y'-x(y'+4/y')=0$ con $y(1)=y'(1)=2$ Quello che ottengo senza imporre le condizioni è: $y=p/(2Č)(p+4/p)$, dove quel Č è semplicemente una costante, vale a dire per intenderci: $......=ln|p|=ln|x|+c$ essendo c per l'appunto una costante ho posto $c=ln|Č|$ cosi da ottenere poi tutta l'equazione con i logaritmi: $ln|p|=ln|x|+ln|Č|$ $\Rightarrow$ $p=xČ$, da qui mi sono ricavato $x$ e l'ho inserita ...

Ciao a tutti, sto avendo dei problemi nel risolvere un esercizio, qualcuno me lo potrebbe spiegare? Siano $a, b ∈ RR$ due parametri reali. Si consideri la funzione $f : RR → RR$ definita a tratti nel seguente modo: $ { ( log(x^2+a^2): x<0 ),( (2(cos(x)-1)-sin^2x)/x^4: x>0 ),( b:x=0 ):} $ Al variare di $a, b ∈ RR$ si discuta la continuità della funzione f e si classifichino gli eventuali punti di discontinuità Io ho fatto il limite di $x->0^-$ di $log(x^2+a^2)$ e mi è uscito $log(a^2)$ ho poi fatto il limite ...

Buonasera a tutti! Stavo leggendo la faticosa dimostrazione del Teorema del Dini per sistemi dal Fusco, Marcellini, Sbordone (che, per la cronaca, viene dedotto dal Teorema di Banach-Caccioppoli e non da quello di invertibilità locale, come ho trovato fare in qualsiasi altro testo) e non ho idea del perché di un certo passaggio che, tra i vari, sembrerebbe abbastanza scontato Per come è scritto (e per quel che ho inteso), sembra che il motivo sia nei righi appena sopra e che non si sfrutti ...

Per studiare la crescenza e decrescenza della funzione $ f(x) = x^x $ il libro dice : "Sappiamo che la funzione logaritmo è crescente, quindi la crescenza e la decrescenza di $ f(x) $ sono equivalenti a quelle di $ g(x) = log (x^x) = x* log (x) $ ". Non ho capito che ragionamento ha fatto per affermare ciò. Grazie

E' possibile calcolare il suddetto integrale indefinito con theta funzione incognita di t? $ int_()^() (1-sin t)vartheta '(t)sin( vartheta (t))dt $ La prima parte è semplice e viene $ -cos vartheta (t) $ ma per il termine $ -int_()^() vartheta '(t)sin( vartheta (t))sin( t) dt $ non so come fare, ho provato ad integrare per parti e sostituzione ma non ho risolto nulla... La Prof.ssa dice che si può calcolare con un po' di fatica ma stanno sorgendo vari dubbi a tal proposito

Salve. Parlando con la professoressa di Analisi 2 mi ha detto che per dimostrare che per aperti semplicemente connessi di $RR^2$, le 1-forme differenziali di classe $C^1$ e chiuse sono esatte, useremo le formule di Green-Gauss e il teorema di Jordan per le curve. Ora, a me non dispiace questo approccio, tuttavia ero curioso di sapere se ci fosse una dimostrazione che non usasse un risultato (il teorema di Jordan) la cui dimostrazione, che io sappia, non è banale. Per ...

Buongiorno, nella ricerca di punti di minimo massimo vincolato attraverso il teorema di Lagrange e l'hessiano orlato, mi ritrovo nel dover risolvere sistemi non lineari, con i quali ho qualche problema. Vi metto due sistemi non lineari riferiti ai suddetti esercizi, la risoluzione è obbligata altrimenti non posso individuare i punti stazionari della lagrangiana. $\{(8x +4y-2lambdax = 0),(4x + 2y -2lambday),(x^2 + y^2-5 = 0):}$ $\{([-6x^2 + 2 +2y^2]/(4x^2)),(-y/x = 0):}$ questo sistema ha come soluzioni i punti $P(1/sqrt3 , 0)$ e $P(-1/sqrt3 , 0)$ ? questo sistema ...

Buongiorno, nella ricerca di punti di minimo massimo vincolato attraverso il teorema di Lagrange e l'hessiano orlato, mi ritrovo nel dover risolvere sistemi non lineari, con i quali ho qualche problema. Vi metto due sistemi non lineari riferiti ai suddetti esercizi, la risoluzione è obbligata altrimenti non posso individuare i punti stazionari della lagrangiana. $\{(3(x+y)^2 - 2lambdax = 0),(3(x+y)^2 - 2lambday = 0),(x^2 + y^2-2 = 0):}$ $\{(y - 8lambdax = 0),(x - 18lambday = 0),(4x^2 + 9y^2 = 0):}$ Potreste aiutarmi con questi sistemi? so che è richiesto un un tentativo di risoluzione, però ...

buongiorno, ho quest'esercizio da risolvere. Data la funzione f(x.y,z) = $x+y^2/(4x )+ z^2/y + 2/z$ Determina l'insieme di definizione e verifica l'applicabilità delle condizioni di I e II ordine per la ricerca di punti di min/max relativi. Calcola quindi gli eventuali punti di min/max. Sapreste darmi una mano? vi ringrazio anticipatamente

Ho un problema con questo limite di una funzione in due variabili $lim_(/bar x->bar 0)(4x^2-y^2)^2/(x^4+y^2)$ Dovrei dimostrata che il limite non esiste, f(x,y) è definita su tutto $R^2$ esclusa chiaramente l'origine che comunque risulta punto di accumulazione, ha senso pertanto studiare il limite. Ora, ci sono diversi modi che ha $bar x ->bar 0$ l'unico modo che mi viene in mente è far avvicinare x all'origine lungo la retta costituita dall'asse delle ascisse e quella lungo l'asse delle ordinate, quindi ...

Salve a tutti. Ho provato a calcolare i punti stazionari di questa funzione che risulta essere non continua in $(0,0)$ ma derivabile in esso. \begin{equation} z=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} & \mathrm{se}\ (x,y)\neq(0,0)\\ 0& \mathrm{se}\ (x,y)=(0,0) \end{cases} \end{equation} In $E={(x,y)\inR^2: 9x^2+y^2-9<=0}$ Impostando $\gradf=0$ mi risultano due punti stazionari: $(0,0)$ e $(h,h)$,l'origine non viene considerata e mi concentro ora sul secondo punto. Svolgendo i ...