Analisi matematica di base

Buongiorno a tutti, Durante la preparazione per l'esame di Analisi 1 mi sono imbattuto in questo esercizi sulle serie numeriche tratto da un tema d'esame: \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac 1 n (\sin(\frac {1} {n^{\alpha}}) + \cos(n\pi) ), \text con \quad \alpha \in \Re \] Procedimento: 1) Eseguo la moltiplicazione tra il termine (1/n) e i due addendi tra parentesi 2) Separo le due serie \( \sum_{i=1}^{\infty} \frac 1 n \sin(\frac {1} {n^{\alpha}}) + \sum_{i=1}^{\infty} \frac 1 n \cos(n\pi) ...

Buongiorno a tutti! Non so come verificare la convergenza di questa serie: $ sum_(n = 1) ^(+oo)4^nsen(1/5^n) $ La condizione necessaria per la convergenza mi risulta verificata. Ho verificato che è una serie a termini positivi. Come posso dimostrare la convergenza? Grazie!!

Ciao a tutti!! Ho una difficoltà a impostare il $d\sigma $ del mio integrale. Ora vi enuncio il problema: Calcolare l'integrale di superficie: $ \int_{\Sigma} (x^2 + y ^2)/z^3 d\sigma \ \ $ dove $ \Sigma : {(x,y,z)=(sin(uv),cos(uv),u): (1/2)\leq u \leq v, \ \v\in [0,1]} $ Sviluppando otterrei: $ \int_{\Sigma} (x^2 + y ^2)/z^3 d\sigma \ \ = \int_{1/2}^{1} \int_{1/2}^{v} 1/(u^3) dvdu $ (Mancante però dell'elemento di sup.) Ma non so come impostare il $ d\sigma $. So che per definizione è: $\ \sqrt(1+||g(x,y)||^2) $, ma non capisco come ottenerlo in queste cordinate. Dovrebbe venire se non erro, u. Potete aiutarmi cortesemente? Grazie!!

Sia $f$ convessa in un intervallo $I$. 1. Dimostrare che se ha due punti di minimo in $I$ allora esiste un intervallo dove $f$ è costante. 2. Dimostrare che se ha massimo in $I$ allora è assunto agli estremi del dominio. Parto dal punto due per favore ditemi se la dimostrazione è corretta: dato che la funzione è convessa in $I$, allora la $f'$ è sicuramente debolmente crescente in ...

Salve a tutti Ho un problema con questi brevi esercizi: Esistono soluzioni dell'equazione $y''-y=0$ che verificano la condizione $"inf"_{t\inR}y(t)=0$ Allora la soluzione dell'equazione è $y(t)=e^-t(c_2+c_1e^(2t))$. Il mio problema ora è interpretare la richiesta dell'esercizio, ovvero non so come interpretare quell' $"inf"...=0$. Ho fatto così comunque: ho imposto che il termine tra parentesi tonde fosse uguale a 0 e quindi ho trovato che: una soluzione sarebbe per $c_1=c_2=0$ e ...

Buongiorno Dovrei stabilire se la seguente serie è convergente: $ sum_(n = 1) ^(+oo )(-1)^n1/(log(2^n+3) $ - é una serie a termini alterni - la condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta quindi la serie può convergere. Non saprei però come verificare la convergenza qualcuno mi aiuta?

Studiare la serie di funzioni $ sum_(n =0)\frac{(-1)^n}{n+1}(\sqrt(2x)-4)^(n+1) $ La serie è a termini alterni ed è esprimibile come $ (-1)^ng_n(x) $. $ g_n(x) $ non è definitamente positiva quindi non posso applicare il criterio di Liebniz (giusto?). Sono passato allo studio della serie dei valori assoluti: $abs(\frac{(-1)^n}{n+1}(\sqrt(2x)-4)^(n+1))=\abs(\frac{1}{n+1}(\sqrt(2x)-4)^(n+1)$ Il termine generale della serie dei valori assoluti converge puntualmente a 0 se e soltanto se $ \abs(\sqrt(2x)-4)\le1->-1\le\sqrt(2x)-4\le1->9/2\lex\le25/2 $ In tale intervallo, applicando il criterio della radice ...

Ciao a tutti, non riesco a capire come passare dalle coordinate cartesiane a quelle polari e viceversa. In generale io so che $ { ( x=rho*cos(theta ) ),( y=rho*sen(theta ) ):} $ e $ { (rho=sqrt(x^2 +y^2) ),( theta=arctan(y/x) ):} $ (nel primo quadrante). Però quando si tratta di fare esercizi non so come approcciarmi.. Partiamo con un esempio: io ho la curva $ phi(t): [0,4pi]->RR^2 $ definita da $ phi(t)=(tcost, tsent) $, ovvero una spirale a passo costante, e vorrei scriverla in forma polare. Allora $ rho=sqrt(x^2+y^2)=sqrt(t^2cos^2t+t^2sen^2t)=sqrt(t^2)=t $ $ theta=arctan((tsent)/(tcost))=arctan(tant) $ Come vado avanti? ...

Salve! Mi sto ritrovando a studiare i campi vettoriali e le forme differenziali. Ora non ho problemi a comprendere la definizione, più che altro mi risulta dubbio cosa stiano cercando di modellizzare questi due concetti; nel mio libro di testo non sono particolarmente motivati. Quindi come vengono motivati questi concetti? Ho letto che sono in qualche senso una estensione del concetto di funzione, ma non mi è ben chiaro come. Inoltre che rapporto hanno con il concetto di differenziale?

Allora premetto che noi le equazioni differenziali le abbiamo trattate parzialmente a fine corso di analisi 1 fino a quelle del 2°ordine a coeff. costanti (senza approfondire ma solo vedendo i metodi di risoluzione). Ho qualche dubbio su questo: determinare, se esistono i valori di k per cui il problema di Cauchy $y''+ky=0, y(pi/2)=y(-pi/2)=0$ ammette soluzioni non identicamente nulle. Io ho fatto così: il determinante del polinomio caratteristico è $-4k$ e quindi ho suddiviso in 3 casi: se ...

Salve a tutti. Ho due domande riguardanti rispettivamente la definizione di serie e la serie di Taylor. Riguardo la prima, sono confuso dal modo in cui sono formulati alcuni esercizi. Per esempio, alcuni chiedono la somma di una certa serie da 1 a N , con n finito(es. "Quanto vale la somma della serie 1/k con k che va da 1 a 10?").La definizione di serie è il limite che tende ad infinito di Sk, ciò è la successione delle somme parziali. Non è quindi errato definirle serie ? Sulla serie di ...

Salve ho provato a risolvere questo limite: $\lim_(x\to0)( (4sqrt(4+((log(x+1))^2)^2 *log(x+1)))/(x^3+x^2)$ Io volevo provare a usare le equivalenza asintotiche in modo brutale e quindi siccome $log(1+x) ~x, x\to0$ ottengo: $\lim_(x\to0)((4sqrt(x^4+4))/(x^2+x))$ e svolgendo il limite separatamente per denominatore e numeratore nei due casi $(x\to0^+, x\to0^-)$ e ottengo rispettivamente $+oo, -oo$ e quindi il limite non esiste. Non mi sembra di aver fatto nulla di sacrilego eppure la mia scheda dice che applicando Hospital viene $\lim_(x\to0)f(x)=4$. Come è ...

Salve a tutti, stavo svolgendo un esercizio in preparazione di un esame di Analisi I quando fra i vari passaggi mi sono trovato davanti all'integrale: $ \int cosx*sinx\ \text{d} x = $ Che so risolvere con sostituzione, senza darci troppo peso ho pensato però invece di raccogliere 1/2 ottenendo così 2cosxsinx come integranda per utilizzare poi la formula per il sin2x, non capisco perchè facendo così ottengo un risultato diverso. Ho ricontrollato i calcoli e non mi sembra ci sia un errore nei pochi passaggi ...

Salve avrei bisogno di capire il procedimento del seguente esercizio: Prolungare per continuità a tutto R^2 la seguente funzione $ ((1+y+x^2)/y)^y $ Grazie mille.

Salve, ho un dubbio su una domanda a risposta multipla: "Su quale dei seguenti intervalli è integrabile, almeno in senso generalizzato, la funzione f definita da $ f(x)=1/(x^3-x) $ ? a) $ [-1,1/2) $ b) $ (-1/2,1/2) $ c) $ (1/2,1) $ d) \( ( -3/4 ,\varepsilon ) \) , per ogni \( \varepsilon ∈ (-3/4,0) \) " Ho escluso la a e la b in quanto l'integrale diverge in 0; la c e la d mi sembrano entrambe corrette, visto che i due punti in cui l'integrale generalizzato diverge (0 e 1, ...

Salve, mi è venuto un dubbio sulla "definzione" di campo conservativo. Metto tra virgolette perché nelle mie dispense vengono definite 3 "affermazioni" equivalenti, e non sono sicuro se possano essere considerate definizioni o se di definizione ce me debba essere una sola. Quella che mi interessa è che un campo è conservativo se gli integrali lungo 2 curve con gli stessi estremi sono uguali. Quello di cui non sono sicuro è se questi integrali debbano essere tutti gli integrali possibili, oppure ...

Ho da poco studiato il teorema dell'inversione dell'ordine di derivazione di Clairaut-Schwarz e viene usato per mostrare che l'Hessiana di una funzione $C^2$ è simmetrica, mi chiedevo, ha altre importanti applicazioni il teorema?

Allora ho due problemi che non riesco a risolvere questi due esercizi: Il primo dice di provare una formula $\int (1/(t^2+1)^n ) dt=(x/(2(n-1)(x^2+1)^(n-1)))+( (2n+3)/(2(n-1)))\int ( 1/( t^2+1)^(n-1) ) dt$ Sinceramente non so nemmeno da dove iniziare Il secondo è un problema di area fra funzioni e dice di calcolare l'area di ${ (x,y): x<=y<=1-x^2, x*y>=0 }$ ho provato a ricavare la x e la y \begin{equation} \begin{cases} x^2+x-1>=0\\xy>=0 \end{cases} \end{equation} Ma in questo modo non faccio altro che trovarmi due intervalli di $x$, e quindi due intervalli di ...

Ciao a tutti, Dovrei calcolare questo integrale $ int int_(D_2)^()e^{\frac{x^2}{4}+y^2}\abs{\frac{x^2}{4}+y^2-1} dx dy, $ dove $ D_2=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}: x^2+16y^2\leq16, x\geq0, y\geq 0\} $ ma non riesco a parametrizzarlo in maniera decente. Un'idea (non furba visto il risultato) era quella di utilizzare le coordinate ellittiche: $ { ( x=4\rho\cos\theta ),( y=\rho\sin\theta ):}\qquad\text{con } rho\in[0,1]\text{ e } theta\in[0,\frac{\pi}{2}] $ Il problema è che viene questo pacciugo $ int int_(D_2)^()e^{\frac{x^2}{4}+y^2}\abs{\frac{x^2}{4}+y^2-1} dx dy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi/2}e^{4\rho^2cos^2\theta+rho^2sin^2\theta}\abs{4\rho^2cos^2\theta+rho^2sin^2\theta-1}\ 4\rho\ d\rhod\theta $ DOMANDA: C'è un modo più furbo per esprimere la parametrizzazione in modo che l'integrale si riesca a calcolare? Come lo calcoloreste?

Calcolare il lavoro del campo vettoriale $ \barF=\frac{(x,y)}{x^2+y^2} $ lungo l'arco di parabola $ y=x^2,x\in[-1,1] $. Sono riuscito a calcolarlo ma la curva non è tutta contenuta nell'insieme $ \Omega={(x,y):x^2+y^2>0}=R^2-{(0,0)} $ di definizione di $ \barF $. E' possibile?