Massimi e minimi rel/ass (funzione a due variabili)
Buongiorno.
Vorrei avere dei chiarimenti su come si trovano i massimi e minimi relativi e assoluti in una funzione a due variabili.
Per trovare un massimo o un minimo relativo (correggetemi se sbaglio), trovo le derivate prime della mia funzione di partenza, le impongo uguali a 0, e trovo i punti critici.
Successivamente determino le derivate seconde e costruisco la matrice hessiana.
Sostituisco alla matrice hessiana i punti che ho trovato dal sistema, se l'hessiana è definita positiva è massimo relativo, se definita negativa minimo relativo.
Vorrei capire come faccio a sapere se è anche assoluto.
Grazie mille.
Vorrei avere dei chiarimenti su come si trovano i massimi e minimi relativi e assoluti in una funzione a due variabili.
Per trovare un massimo o un minimo relativo (correggetemi se sbaglio), trovo le derivate prime della mia funzione di partenza, le impongo uguali a 0, e trovo i punti critici.
Successivamente determino le derivate seconde e costruisco la matrice hessiana.
Sostituisco alla matrice hessiana i punti che ho trovato dal sistema, se l'hessiana è definita positiva è massimo relativo, se definita negativa minimo relativo.
Vorrei capire come faccio a sapere se è anche assoluto.
Grazie mille.
Risposte
Se non ci sono valori della funzione maggiori/minori del massimo/minimo relativo allora è anche assoluto.
"giordafn":
[...] Vorrei capire come faccio a sapere se è anche assoluto.
Lo studio dell'hessiana di una funzione sufficientemente regolare ti fornisce (tranne in pochi casi i cui la funzione è effettivamente lineare o quadratica) informazioni sulla natura, per così dire, locale del punto. Ovviamente un minimo (risp. massimo) globale è punto critico, quindi se esiste, il minimo (risp. massimo) globale è da ricercarsi tra i punti critici (sempre assumendo sufficiente regolarità). Quello che uno deve escludere è che funzione possa scappare a \( - \infty \) o \(+ \infty \).
"gio73":
Se non ci sono valori della funzione maggiori/minori del massimo/minimo relativo allora è anche assoluto.
Io ad esempio ho questo esercizio:
$ f(x,y)=(x−5)^2log(y−3)+9. $
Ho trovato che f ammette una semiretta di punti critici.
E poi mi chiede di definire i seguenti punti (dire se sono punti critici, e se sono di max/min/nessuno dei due):
(5,7) (5,4) (5,2) (3,4) (5,7/2)
Il mio procedimento è stato così:
1) Ho calcolato le derivate parziali:
$ [ ( 2(x-5)*log(y-3)),( (x-5 )^2*1/(y-3)) ] $
2) Ho calcolato l'hessiana:
$ [ ( 2*log(y-3) , 2(x-5)*1/(y-3) ),( 2(x-5)*1/(y-3) , (x-5)^2*1/(y-3)^2 ) ] $
Però se vado a sostituire il primo punto (5,7) a me non torna come la soluzione del libro (che sarebbe p.to di minimo locale), potresti dirmi se sbaglio procedimento o qualche calcolo ? Grazie mille.
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
[quote="giordafn"][...] Vorrei capire come faccio a sapere se è anche assoluto.
Lo studio dell'hessiana di una funzione sufficientemente regolare ti fornisce (tranne in pochi casi i cui la funzione è effettivamente lineare o quadratica) informazioni sulla natura, per così dire, locale del punto. Ovviamente un minimo (risp. massimo) globale è punto critico, quindi se esiste, il minimo (risp. massimo) globale è da ricercarsi tra i punti critici (sempre assumendo sufficiente regolarità). Quello che uno deve escludere è che funzione possa scappare a \( - \infty \) o \(+ \infty \).[/quote]
Quindi ipoteticamente, quali sarebbero i passaggi per definire se il punto è assoluto?
Look...
Io proprio non riesco a seguire una serie predefinita di passaggi, soprattutto quelli che prevedono montagne di conti.
Mi faccio una idea di volta in volta di cosa è più conveniente fare.
Nel caso della tua funzione farei subito uno studio del segno, sai cosa è?
Io proprio non riesco a seguire una serie predefinita di passaggi, soprattutto quelli che prevedono montagne di conti.
Mi faccio una idea di volta in volta di cosa è più conveniente fare.
Nel caso della tua funzione farei subito uno studio del segno, sai cosa è?
"giordafn":
[quote="080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6"][quote="giordafn"][...] Vorrei capire come faccio a sapere se è anche assoluto.
Lo studio dell'hessiana di una funzione sufficientemente regolare ti fornisce (tranne in pochi casi i cui la funzione è effettivamente lineare o quadratica) informazioni sulla natura, per così dire, locale del punto. Ovviamente un minimo (risp. massimo) globale è punto critico, quindi se esiste, il minimo (risp. massimo) globale è da ricercarsi tra i punti critici (sempre assumendo sufficiente regolarità). Quello che uno deve escludere è che funzione possa scappare a \( - \infty \) o \(+ \infty \).[/quote]
Quindi ipoteticamente, quali sarebbero i passaggi per definire se il punto è assoluto?[/quote]
Specifico meglio.
Ad esempio ho:
$ f(x,y)=8y−y2−(x−2)^2log(y−1) $
e mi chiede di dire se alcuni punti come (0,2) (0,1) (2,4) (2,6) sono di max/min locale/assoluto o se appartengono o meno al campo di esistenza.
Il mio problema principale, è che mi sa che non ho ben chiari i passaggi per definirli tali.
Sono abbastanza sicuro che il primo passaggio è quello di trovare le derivate parziali e imporle = 0, e trovo i punti critici.
Successivamente cosa devo fare?
"gio73":
Look...
Io proprio non riesco a seguire una serie predefinita di passaggi, soprattutto quelli che prevedono montagne di conti.
Mi faccio una idea di volta in volta di cosa è più conveniente fare.
Nel caso della tua funzione farei subito uno studio del segno, sai cosa è?
Si, dovrei porre la funzione maggiore uguale a 0 no?
"giordafn":
[...] Quindi ipoteticamente, quali sarebbero i passaggi per definire se il punto è assoluto?
Non ci sono passaggi "standard", devi guardare la funzione. Il primo esempio che hai scritto: \[ f(x,y)=2(x-5) \log(y-3) +9 \] (sempre ammesso che sia questa). Cosa succede per esempio se consideri \( f(x,5) \) e calcoli i limiti per \( x \to \pm \infty \)?
Appena fatto le mie considerazioni e direi la nostra funzione nel punto (5; 7) vale 9, così come nei punti (5; 7+/ - pochissimo)
Se invece usiamo la restrizione y=7 avremo in (5-pochissimo; 7) un po' meno di 9 e (5+pochissimo; 7) un po' più di 9
Se invece usiamo la restrizione y=7 avremo in (5-pochissimo; 7) un po' meno di 9 e (5+pochissimo; 7) un po' più di 9
Hai modificato il tuo messaggio?
Mi sembrava che avessi indicato (5;7) come un punto di minimo relativo.
Mi sembrava che avessi indicato (5;7) come un punto di minimo relativo.
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
[quote="giordafn"][...] Quindi ipoteticamente, quali sarebbero i passaggi per definire se il punto è assoluto?
Non ci sono passaggi "standard", devi guardare la funzione. Il primo esempio che hai scritto: \[ f(x,y)=2(x-5) \log(y-3) +9 \] (sempre ammesso che sia questa). Cosa succede per esempio se consideri \( f(x,5) \) e calcoli i limiti per \( x \to \pm \infty \)?[/quote]
Perdonami ma avevo scritto male la funzione, ed era (x-5)^2 non 2(x-5).
Sia per x che tende a + infinito che a -, risulta + infinito, no?
"gio73":
Hai modificato il tuo messaggio?
Mi sembrava che avessi indicato (5;7) come un punto di minimo relativo.
L'ho modificato perché avevo scritto male la funzione e non era 2(x-5) ma (x-5)^2, scusatemi
"giordafn":
[...]
Perdonami ma avevo scritto male la funzione, ed era (x-5)^2 non 2(x-5).
Sia per x che tende a + infinito che a -, risulta + infinito, no?
Sì, quindi cosa concludi? Ci può essere massimo assoluto (nel dominio di \(f\))? E' un esempio di quello che intendo con "guardare la funzione".
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
[quote="giordafn"][...]
Perdonami ma avevo scritto male la funzione, ed era (x-5)^2 non 2(x-5).
Sia per x che tende a + infinito che a -, risulta + infinito, no?
Sì, quindi cosa concludi? Ci può essere massimo assoluto (nel dominio di \(f\))? E' un esempio di quello che intendo con "guardare la funzione".[/quote]
Quindi essendo che va a + infinito, ipotizzo non ci sia massimo assoluto.
Concluso che non ci sono massimi assoluti, se volessi analizzare un punto, ad esempio (5, 7/2), come dovrei fare per dire se è massimo o minimo locale?
"giordafn":
Quindi essendo che va a + infinito, ipotizzo non ci sia massimo assoluto. [...]
Sì.
"giordafn":
[...] Concluso che non ci sono massimi assoluti, se volessi analizzare un punto, ad esempio (5, 7/2), come dovrei fare per dire se è massimo o minimo locale?
Per proprietà locali inizia con l'Hessiana. Attenzione che anche lo studio dell'Hessiana può essere inconclusivo, per esempio se la matrice è soltanto semi-definita positiva (risp. negativa).
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
[quote="giordafn"]Quindi essendo che va a + infinito, ipotizzo non ci sia massimo assoluto. [...]
Sì.
"giordafn":
[...] Concluso che non ci sono massimi assoluti, se volessi analizzare un punto, ad esempio (5, 7/2), come dovrei fare per dire se è massimo o minimo locale?
Per proprietà locali inizia con l'Hessiana. Attenzione che anche lo studio dell'Hessiana può essere inconclusivo, per esempio se la matrice è soltanto semi-definita positiva (risp. negativa).[/quote]
Okay, grazie per le delucidazioni.
L'hessiana mi torna così:
$ [ ( 2*log(y-3) , 2(x-5)*1/(y-3) ),( 2(x-5)*1/(y-3) , (x-5)^2*1/(y-3)^2 ) ] $
E andando a sostituire il punto (5,7/2) mi torna che sia un massimo locale, giusto?
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
[quote="giordafn"][...] Quindi ipoteticamente, quali sarebbero i passaggi per definire se il punto è assoluto?
Non ci sono passaggi "standard", devi guardare la funzione. Il primo esempio che hai scritto: \[ f(x,y)=2(x-5) \log(y-3) +9 \] (sempre ammesso che sia questa). Cosa succede per esempio se consideri \( f(x,5) \) e calcoli i limiti per \( x \to \pm \infty \)?[/quote]
Una domanda, quando qui mi hai detto di considerare f(x,5), 5 è un numero preso a caso, o ha un significato?
"giordafn":
Una domanda, quando qui mi hai detto di considerare f(x,5), 5 è un numero preso a caso, o ha un significato?
Ho scelto un punto a caso nel dominio di \(f\). Osserva che \[ f(x,5) = (x-5)^2 \log(2) + 9 > 0 \quad \forall \, x; \]se invece prendi per esempio \[ f(x,5/2) = (x-5)^2 \log(1/2) + 9 < 0 \quad \text{se x suff. grande}\]e quindi da qui concludi anche che non esiste minimo assoluto.
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
[quote="giordafn"]
Una domanda, quando qui mi hai detto di considerare f(x,5), 5 è un numero preso a caso, o ha un significato?
Ho scelto un punto a caso nel dominio di \(f\). Osserva che \[ f(x,5) = (x-5)^2 \log(2) + 9 > 0 \quad \forall \, x; \]se invece prendi per esempio \[ f(x,5/2) = (x-5)^2 \log(1/2) + 9 < 0 \quad \text{se x suff. grande}\]e quindi da qui concludi anche che non esiste minimo assoluto.[/quote]
Ah okay, grazie mille.
Buongiorno, scusate di nuovo il disturbo.
Ho da svolgere questo esercizio:
$ f(x,y)=(y+x^2+2x)(x+2)^2−4 $
E devo analizzarlo nei seguenti punti (-2,1) (-2,-2) (-2,0) (-1,1).
Devo dire se sono punti critici, e se sono di max/min rel o nessuno dei due.
Ho trovato le derivate parziali:
$ [ ( (2x+2)(x+2)^2+(y+x^2+2x)*2(x+2) ),( (x+2)^2 ) ] $
e ho studiato i punti critici .
Successivamente per analizzare i vari punti dettati precedentemente ho trovato l'hessiana, però i miei risultati non tornano come quelli del libro.
L'hessiana che ho trovato sarebbe:
$ [ ( 12x^2+36x+24+2y , 2x+4 ),( 2x+4 , 0 ) ] $
Andando a sostituire ad esempio con il primo punto (-2,1), l'hessiana verrebbe $ [ ( 2 , 0 ),( 0 , 0 ) ] $
Essendo che il determinante è 0, il risultato non dovrebbe essere nè massimo nè minimo ?
Sapete dirmi dove sbaglio?
Ho da svolgere questo esercizio:
$ f(x,y)=(y+x^2+2x)(x+2)^2−4 $
E devo analizzarlo nei seguenti punti (-2,1) (-2,-2) (-2,0) (-1,1).
Devo dire se sono punti critici, e se sono di max/min rel o nessuno dei due.
Ho trovato le derivate parziali:
$ [ ( (2x+2)(x+2)^2+(y+x^2+2x)*2(x+2) ),( (x+2)^2 ) ] $
e ho studiato i punti critici .
Successivamente per analizzare i vari punti dettati precedentemente ho trovato l'hessiana, però i miei risultati non tornano come quelli del libro.
L'hessiana che ho trovato sarebbe:
$ [ ( 12x^2+36x+24+2y , 2x+4 ),( 2x+4 , 0 ) ] $
Andando a sostituire ad esempio con il primo punto (-2,1), l'hessiana verrebbe $ [ ( 2 , 0 ),( 0 , 0 ) ] $
Essendo che il determinante è 0, il risultato non dovrebbe essere nè massimo nè minimo ?
Sapete dirmi dove sbaglio?
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