Analisi matematica di base

Qualcuno può spiiegarmi cortesemente la dimostrazione del teorema di Heine-Cantor $f \in C^°([a,b]) rArr " f è unif. continua"$ Il professore l'ha dimostrata per assurdo in tal modo: Abbiamo negato la definizione di uniforme continuità $EE \epsilon >0: AA\delta>0 EE x,y \in domf : |x-y|<\delta$ ma $|f(x)-f(y)| >=\epsilon$ Allora si prende $AAn \in N, \delta=1/n \to0$ e dunque $EE x_n,y_n \in domf ( "ovvero è limitata all' intervallo" [a,b] ) : |x_n-y_n|<\delta e |f(x_n)-f(y_n)| >= \epsilon $ (**) Ma siccome $x_n$ è limitata, per B-W, $EEx_(k_n) rarr x_0 \in [a,b]$ Fino a qui tutto ok da adesso in poi ho qualche problema ${|y_(k_n)-x_(k_n)|<1/k_n ^^x_(k_n)\tox_0} rArr y_(k_n) \to x_0$ Quest'ultima implicazione da dove salta ...

Ciao a tutti avrei bisogno di un aiuto ad affrontare questo esercizio. Data la funzione $f(x)=\ln (7-x^2)^3 - x$, controllare se è invertibile in un intorno di $-1$ e calcolare $(f^{-1})'(-1)$. Utilizzando la regola della derivata della funzione inversa come prima cosa dovrei calcolarmi le $x$ tali che $f(x)=-1$ ma non mi sembra sia un'equazione risolvibile analiticamente quindi non riesco a venirne a capo. Come posso procedere?

Buongiorno. Avrei la seguente serie in cui devo verificare la convergenza al variare di $ alpha $ $ sum_(n=1)^(+oo) = 1/n*(1-cos(1/log(n^(3/2))))^alpha $ Qualche aiuto per iniziare?

Buonasera!! Avrei il seguente limite: $ lim_(n-> +oo) (sen(pi /2+npi)*(4^n+5^logn))/n^logn $ Non so proprio neanche da dove cominciare. Qualche suggerimento?

Buongiorno, ho un problema con questo esercizio, sicuramente banale, ma non riesco a trovare la parametrizzazione corretta sugli intervalli. Devo calcolare il volume di un solido di rotazione definito da $\sqrt(x^2+y^2) \leq 1-\abs{z]$ $\abs{z] \leq 1$ La mia prima idea è stata quella di passare a coordinate cilindriche, per cui avrei $\rho \leq 1-|z|$ $\abs{z] \leq 1$ Su $\theta$ non ho alcuna restrizione per cui è definito su un intervallo $[0, 2\pi]$, mentre $\rho$ non dovrebbe ...

Ciao a tutti. Sto cercando di svolgere questo esercizio di analisi due riguardo lo studio di una funzione a due variabili. Devo studiare la continuità, derivabilità, differenziabilità,max e min della seguente funzione: \begin{equation} z= \begin{cases} P(x,y)=1& (x,y)=(0,0) \\ S(x,y)=\frac{ysinx}{xsiny}& (x,y)\in E | x\neq0, y\neq0 \\ T(x,y)=\frac{sinx}{x}& (x,0)\in E | x\neq0 \\ Q(x,y)\frac{y}{siny}& (0,y)\in E | y\neq0 \\ \end{cases} \end{equation} Dove ...

Siano $ \barr_1(t)=(x_1(t),...,x_n(t)) :t\in[a,b] $ e $ \barr_2(s)=(x_1(s),...,x_n(s)) :s\in[c,d] $ due curve. Esse si dicono equivalenti se $ \exists\psi:[a,b]->[c,d] $ tale che $ \barr_1(t)=\barr_2(\psi(t))\forallt\in[a,b] $ con $ \psi $ di classe $ C^1 $ e $ \psi'(t)!= 0\forallt\in[a,b] $. Con le ipotesi a disposizione vorrei ricavare che $ \psi $ è invertibile. La derivata di $ \psi' $ è continua e non è mai nulla in $ [a,b] $ quindi o è sempre positiva o è sempre negativa in tutto $ [a,b] $ e non può cambiare segno passando da un ...

Salve a tutti! Sto facendo un esercizio di analisi due e devo trovare i massimi e i minimi relativi vincolati. La funzione è questa: $ f(x,y)= (x^2+y-1)^2 $dove$\ E={(x,y)\inR^2 | x^2+y^2<=1)} $ Facendo i conti ho che: $\nablaf=0$: $P1=(0,1)$ e un altro punto ma che ho difficoltà a inquadrare bene. Possibile venga $P2=(h,1+x^2) forallh\in R$? Per quanto riguarda il primo non posso dire nulla essendo un punto appartenente alla frontiera. Il secondo non riesco a impostarlo.. Grazie

Ciao a tutti, ecco un esercizio sui problemi di Cauchy. Ho provato a svolgere l'esercizio ma non sono sicuro di aver fatto bene. Potreste dirmi se ci sono dei punti sbagliati o imprecisi? Es. Stabilire per quali $y_0\in\mathbb{R}$ il problema di Cauchy \( \begin{cases} x^2y'(x)=y(x) \\ y(0)=y_0 \end{cases} \) ammette soluzioni. Svolgimento Osservo che sostituendo la condizione iniziale nell'eq. differenziale ho che \( 0\cdot y'(0)=y_0 \). Quindi se $y_0\ne 0$ allora il Problema di ...

Ciao a tutti, avrei bisogno di qualche chiarimento sul seguente esercizio sulle serie. Ho scritto tutto quello che ho fatto (nello spoiler) tenendo in evidenza i punti su cui avrei delle domande. Se avete potete e avete voglia vi chiederei un giudizio generale su tutto l'esercizio ma, principalmente, avrei un dubbio nel punto c) e un dubbio più grossi nel punto e). Vi ringrazio! Es. Sia $f$ la funzione definita da \( f(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^n}{n\log{n}} \) ...

Ciao a tutti Sto provando a risolvendo questo limite. Inizialmente mi sembrava banale, ma probabilmente sbaglio qualcosa nei calcoli oppure ho qualche concetto sbagliato. Scrivo tutti i passaggi. Il risultato finale dovrebbe essere $3/4$. Ovviamente non vi chiedo la risuluzione, ma qualche input su dove sbaglio. Grazie $lim_(x->0)(root(4)(1+3x)-root(4)(1-6x))/(3x)$ Forma indeterminata ...

Salve a tutti, sono nuovo quindi scusate se posto nella sezione sbagliata! Ecco il mio problema: Stavo cercando di esercitarmi sugli integrali doppi, e mi sono ritrovato davanti a questo integrale: $ int int_(D) (x-1)/((x-1)^2+y^2)dx dy $ Il dominio D e' questo : $ D = {(x,y) in R^2 : (x-1)^2+y^2 >=1; 0<=y<=sqrt(3)*(x-1);1<=x<=2} $ Pensavo che, essendo D una sorta di Circonferenza ( (x-1)^2+y^2..), dovessi fare il cambio di variabile in coordinate polari, ma non riesco piu' ad andare avanti. Se qualcuno riuscisse a spiegarmi cosa fare, ne sarei molto grato. ...

Avrei un dubbio su una questione forse poco importante, che mi è sorta studiando l'integrale di Riemann, per dare la definizione di funzione integrabile si parte da una funzione f def \( f:[a, b]\longmapsto\mathbb{R} \) limitata. Ora se una funzione va in R per forza è limitata perchè R non contiene i simboli di infinito quindi dire che è limitata è ridondante a parer mio. Infatti anche la funzione \( \frac{1}{x} \) è definita solitamente in \( (0, +\infty ) \)

Ciao a tutti! Ho la seguente equazione complessa: $ (z^5+2-i)(Re(z)-Im(z))=0 $ Io l'ho divisa così: $ z^5+2-i=0 rarr z=root(5)(-2+i) $ $ (Re(z)-Im(z))=0 -> a-b=0 -> a=b $ considerando $ z=a+ib $ Poi non saprei come proseguire

ciao a tutti! Qualcuno può spiegarmi come svolgere questo esercizio? Sia $f : D_f \rightarrow \RR $ derivabile nel punto $x_0 \in D_f$. Mostrare con un esempio che la condizione $f′(x_0) = 0 $ è solo necessaria perché $x_0$ sia un punto stazionario.

Buonasera, avrei il seguente limite: $ lim_(x -> 0) (ln(e^(x^2)+x^4)-xsenx)/(sen(2x^2)+4cosx-4) $ Qualche aiuto su come iniziare a svolgerlo? Ho notato che viene la forma indeterminata $ 0/0 $ Grazie

Sapendo che $ \frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^xf(t)dt=0 $, mi è stato detto che tramite il primo teorema del calcolo integrale posso scrivere che $ f(x_0)=lim_{x->x_0}\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^xf(t)dt=0 $. Il mio problema è che non riesco a riconoscere come è stato applicato qua il teorema. Qualcuno potrebbe spiegarmelo con più chiarezza?

Buonasera, avrei bisogno di alcuni chiarimenti riguardo allo svolgimento di un esercizio. Io ho che X è il campo di esistenza della funzione f(x,y) $ sqrt(4-y)+sqrt(25-x^2-y^2 $ E devo stabilire se l'insieme X è aperto o chiuso, limitato o illimitato, concavo o convesso e se i punti P 0(0,5) e (3,4) appartengono a X. Non vorrei che me lo faceste voi, ma vorrei capire come faccio a determinare queste informazioni. Grazie mille in anticipo.

Scusate ma non ho capito un cosa. Data una funzione del tempo, es. x(t), perchè quando si scrive la derivata seconda si scrive d2x/dt2 e non d2x/d2t?

Buongiorno, dovrei verificare la convergenza delle due seguenti serie: 1) $ sum_(n=1)^(+ oo)log(n!)/(n^4) $ La presenza del fattoriale mi ha fatto pensare all'uso del criterio del rapporto: $ a_(n+1)=log((n+1)!)/(n+1)^4=log((n+1)n!)/(n+1)^4=(log(n+1)+log(n!))/(n+1)^4 $ Ma direi che non mi porta da nessuna parte Consigli? 2) $ sum_(n=1)^(+ oo)1/(nroot(n)(n) $ Ho pensato intanto di riscriverla così: $ sum_(n=1)^(+ oo)1/(n^((n+1)/n) $ Però non mie viene in mente nulla Questa seconda dovrebbe essere divergente. La condizione necessaria di convergenza mi risulta comunque verificata.