Analisi matematica di base

Allora ragazzi ho un dubbio su questo esercizio per casa: Dimostrare formalmente che se una funzione $f$ è lipschitziana, allora $f$ è uniformemente continua: Io ho provato a far così Mi son riscritto la definizione di funzione lipschitziana in questo modo: $EE L >0 : AAx,y \in domf, "con" x !=y, |(f(x)-f(y))/(x-y)|<=L$ Poi nella def. di funzione uniforme continua, ho cercato un $\delta$ "furbo" e dopo molti calcoli sono arrrivato a questo ho preso $\delta=\2epsilon/L$ e quindi $ AA\epsilon >0, EE \delta >0 : AA x,y \in domf, [ |x-y|<\delta rArr |f(x)-f(y)|<\epsilon$ e da qui ...

Ciao ragazzi! Ho svolto quest'integrale doppio e non avendo soluzioni vorrei chiedervi se i passaggi sono corretti. $ int_{D} x^2+y^2\ dxdy $ con $ E={(x,y)\in R^2 | x^2+y^2-2rx<=0, \ r>0} $ Dominio: circonferenza $ C=(r,0) $e $raggio= r $. Ho inserito le coordinate polari: \begin{cases} x=r+rcos\theta = r(1+cos\theta)\\ y=rsin\theta \\ \end{cases} Con le coordinate polari avrò che: \begin{cases} 0\leq \rho \leq \sqrt{2r^2(1+cos\theta)} \\ 0\leq\theta\leq2\pi \\ \end{cases} $ int_{0}^{2\pi}int_{0}^{\sqrt{2r^2(1+cos\theta)} } \rho^3 d\thetad\rho$ Il ...

Qualcuno può spiiegarmi cortesemente la dimostrazione del teorema di Heine-Cantor $f \in C^°([a,b]) rArr " f è unif. continua"$ Il professore l'ha dimostrata per assurdo in tal modo: Abbiamo negato la definizione di uniforme continuità $EE \epsilon >0: AA\delta>0 EE x,y \in domf : |x-y|<\delta$ ma $|f(x)-f(y)| >=\epsilon$ Allora si prende $AAn \in N, \delta=1/n \to0$ e dunque $EE x_n,y_n \in domf ( "ovvero è limitata all' intervallo" [a,b] ) : |x_n-y_n|<\delta e |f(x_n)-f(y_n)| >= \epsilon $ (**) Ma siccome $x_n$ è limitata, per B-W, $EEx_(k_n) rarr x_0 \in [a,b]$ Fino a qui tutto ok da adesso in poi ho qualche problema ${|y_(k_n)-x_(k_n)|<1/k_n ^^x_(k_n)\tox_0} rArr y_(k_n) \to x_0$ Quest'ultima implicazione da dove salta ...

Ciao a tutti avrei bisogno di un aiuto ad affrontare questo esercizio. Data la funzione $f(x)=\ln (7-x^2)^3 - x$, controllare se è invertibile in un intorno di $-1$ e calcolare $(f^{-1})'(-1)$. Utilizzando la regola della derivata della funzione inversa come prima cosa dovrei calcolarmi le $x$ tali che $f(x)=-1$ ma non mi sembra sia un'equazione risolvibile analiticamente quindi non riesco a venirne a capo. Come posso procedere?

Buongiorno. Avrei la seguente serie in cui devo verificare la convergenza al variare di $ alpha $ $ sum_(n=1)^(+oo) = 1/n*(1-cos(1/log(n^(3/2))))^alpha $ Qualche aiuto per iniziare?

Buonasera!! Avrei il seguente limite: $ lim_(n-> +oo) (sen(pi /2+npi)*(4^n+5^logn))/n^logn $ Non so proprio neanche da dove cominciare. Qualche suggerimento?

Buongiorno, ho un problema con questo esercizio, sicuramente banale, ma non riesco a trovare la parametrizzazione corretta sugli intervalli. Devo calcolare il volume di un solido di rotazione definito da $\sqrt(x^2+y^2) \leq 1-\abs{z]$ $\abs{z] \leq 1$ La mia prima idea è stata quella di passare a coordinate cilindriche, per cui avrei $\rho \leq 1-|z|$ $\abs{z] \leq 1$ Su $\theta$ non ho alcuna restrizione per cui è definito su un intervallo $[0, 2\pi]$, mentre $\rho$ non dovrebbe ...

Ciao a tutti. Sto cercando di svolgere questo esercizio di analisi due riguardo lo studio di una funzione a due variabili. Devo studiare la continuità, derivabilità, differenziabilità,max e min della seguente funzione: \begin{equation} z= \begin{cases} P(x,y)=1& (x,y)=(0,0) \\ S(x,y)=\frac{ysinx}{xsiny}& (x,y)\in E | x\neq0, y\neq0 \\ T(x,y)=\frac{sinx}{x}& (x,0)\in E | x\neq0 \\ Q(x,y)\frac{y}{siny}& (0,y)\in E | y\neq0 \\ \end{cases} \end{equation} Dove ...

Siano $ \barr_1(t)=(x_1(t),...,x_n(t)) :t\in[a,b] $ e $ \barr_2(s)=(x_1(s),...,x_n(s)) :s\in[c,d] $ due curve. Esse si dicono equivalenti se $ \exists\psi:[a,b]->[c,d] $ tale che $ \barr_1(t)=\barr_2(\psi(t))\forallt\in[a,b] $ con $ \psi $ di classe $ C^1 $ e $ \psi'(t)!= 0\forallt\in[a,b] $. Con le ipotesi a disposizione vorrei ricavare che $ \psi $ è invertibile. La derivata di $ \psi' $ è continua e non è mai nulla in $ [a,b] $ quindi o è sempre positiva o è sempre negativa in tutto $ [a,b] $ e non può cambiare segno passando da un ...

Salve a tutti! Sto facendo un esercizio di analisi due e devo trovare i massimi e i minimi relativi vincolati. La funzione è questa: $ f(x,y)= (x^2+y-1)^2 $dove$\ E={(x,y)\inR^2 | x^2+y^2<=1)} $ Facendo i conti ho che: $\nablaf=0$: $P1=(0,1)$ e un altro punto ma che ho difficoltà a inquadrare bene. Possibile venga $P2=(h,1+x^2) forallh\in R$? Per quanto riguarda il primo non posso dire nulla essendo un punto appartenente alla frontiera. Il secondo non riesco a impostarlo.. Grazie

Ciao a tutti, ecco un esercizio sui problemi di Cauchy. Ho provato a svolgere l'esercizio ma non sono sicuro di aver fatto bene. Potreste dirmi se ci sono dei punti sbagliati o imprecisi? Es. Stabilire per quali $y_0\in\mathbb{R}$ il problema di Cauchy \( \begin{cases} x^2y'(x)=y(x) \\ y(0)=y_0 \end{cases} \) ammette soluzioni. Svolgimento Osservo che sostituendo la condizione iniziale nell'eq. differenziale ho che \( 0\cdot y'(0)=y_0 \). Quindi se $y_0\ne 0$ allora il Problema di ...

Ciao a tutti, avrei bisogno di qualche chiarimento sul seguente esercizio sulle serie. Ho scritto tutto quello che ho fatto (nello spoiler) tenendo in evidenza i punti su cui avrei delle domande. Se avete potete e avete voglia vi chiederei un giudizio generale su tutto l'esercizio ma, principalmente, avrei un dubbio nel punto c) e un dubbio più grossi nel punto e). Vi ringrazio! Es. Sia $f$ la funzione definita da \( f(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^n}{n\log{n}} \) ...

Ciao a tutti Sto provando a risolvendo questo limite. Inizialmente mi sembrava banale, ma probabilmente sbaglio qualcosa nei calcoli oppure ho qualche concetto sbagliato. Scrivo tutti i passaggi. Il risultato finale dovrebbe essere $3/4$. Ovviamente non vi chiedo la risuluzione, ma qualche input su dove sbaglio. Grazie $lim_(x->0)(root(4)(1+3x)-root(4)(1-6x))/(3x)$ Forma indeterminata ...

Salve a tutti, sono nuovo quindi scusate se posto nella sezione sbagliata! Ecco il mio problema: Stavo cercando di esercitarmi sugli integrali doppi, e mi sono ritrovato davanti a questo integrale: $ int int_(D) (x-1)/((x-1)^2+y^2)dx dy $ Il dominio D e' questo : $ D = {(x,y) in R^2 : (x-1)^2+y^2 >=1; 0<=y<=sqrt(3)*(x-1);1<=x<=2} $ Pensavo che, essendo D una sorta di Circonferenza ( (x-1)^2+y^2..), dovessi fare il cambio di variabile in coordinate polari, ma non riesco piu' ad andare avanti. Se qualcuno riuscisse a spiegarmi cosa fare, ne sarei molto grato. ...

Avrei un dubbio su una questione forse poco importante, che mi è sorta studiando l'integrale di Riemann, per dare la definizione di funzione integrabile si parte da una funzione f def \( f:[a, b]\longmapsto\mathbb{R} \) limitata. Ora se una funzione va in R per forza è limitata perchè R non contiene i simboli di infinito quindi dire che è limitata è ridondante a parer mio. Infatti anche la funzione \( \frac{1}{x} \) è definita solitamente in \( (0, +\infty ) \)

Ciao a tutti! Ho la seguente equazione complessa: $ (z^5+2-i)(Re(z)-Im(z))=0 $ Io l'ho divisa così: $ z^5+2-i=0 rarr z=root(5)(-2+i) $ $ (Re(z)-Im(z))=0 -> a-b=0 -> a=b $ considerando $ z=a+ib $ Poi non saprei come proseguire

ciao a tutti! Qualcuno può spiegarmi come svolgere questo esercizio? Sia $f : D_f \rightarrow \RR $ derivabile nel punto $x_0 \in D_f$. Mostrare con un esempio che la condizione $f′(x_0) = 0 $ è solo necessaria perché $x_0$ sia un punto stazionario.

Buonasera, avrei il seguente limite: $ lim_(x -> 0) (ln(e^(x^2)+x^4)-xsenx)/(sen(2x^2)+4cosx-4) $ Qualche aiuto su come iniziare a svolgerlo? Ho notato che viene la forma indeterminata $ 0/0 $ Grazie

Sapendo che $ \frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^xf(t)dt=0 $, mi è stato detto che tramite il primo teorema del calcolo integrale posso scrivere che $ f(x_0)=lim_{x->x_0}\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^xf(t)dt=0 $. Il mio problema è che non riesco a riconoscere come è stato applicato qua il teorema. Qualcuno potrebbe spiegarmelo con più chiarezza?

Buonasera, avrei bisogno di alcuni chiarimenti riguardo allo svolgimento di un esercizio. Io ho che X è il campo di esistenza della funzione f(x,y) $ sqrt(4-y)+sqrt(25-x^2-y^2 $ E devo stabilire se l'insieme X è aperto o chiuso, limitato o illimitato, concavo o convesso e se i punti P 0(0,5) e (3,4) appartengono a X. Non vorrei che me lo faceste voi, ma vorrei capire come faccio a determinare queste informazioni. Grazie mille in anticipo.