Analisi matematica di base

Buonasera, la mia professoressa ha enunciato il seguente Teorema: 1) $f$ continua in $D$ sse la controimmagine $f^{-1}(A)$ di ogni aperto, non vuoto di $\mathbb{R}$ (ossia $A$) è un insieme aperto in $D$ $\to$ $f^{-1}(A) = U \cap D$ aperto di $\mathbb{R}^n$ Non riesco proprio ad afferrarne il senso Ha enunciato anche quello per gli insiemi chiusi: $f$ continua in $D$ sse la ...

Dire se la seguente funzione è differenziabile nel suo insieme di definizione. $ f(x,y)={ ( arctan(\frac{x}{y-2})ify\ne2 ),( -\frac{\pi}{2}ify=2):} $ Ho determinato le derivate prime di f $ f_x(x,y)={ ( \frac{(y-2)^2}{(y-2)^2+x^2} ify\ne2 ),( 0 ify=2 ):} $ $ f_y(x,y)={ ( \frac{-x^2}{(y-2)^2+x^2}ify\ne2 ),( 0 ify=2 ):} $ Entrambe le funzione sono continue per $ y\ne2 $. La funzione di partenza è quindi differenziabile nell'aperto $ y\ne2 $. Per verificare a differenziabilità per $ y=2 $ ho pensato di calcolare questi limiti per vedere se le derivate prime sono continue per $ y=2 $: ...

Salve dovrei dimostrare quanto segue Sia \(F(x,y) \) un polinomio omogeneo nelle indeterminate \(x,y\) di grado 3 e definiamo l'Hessiana come il determinante della matrice Hessiana per un fattore costante. \[ H(x,y) = -\frac{1}{4} \left( \frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial^2x} \cdot \frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial^2y} - \left( \frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x \partial y} \right)^2 \right) \] Allora abbiamo che \[ -\frac{1}{4} \left( \frac{\partial^2 F(ax+by,cx+dy)}{\partial^2x} \cdot ...

Buongiorno, ho bisogno di un aiuto su questo esercizio: Qual'è l'ascissa del punto di tangenza tra la funzione y=ln x^3 e la retta di coefficiente angolare uguale a -1?

Salve, avrei un dubbio sul fatto che il seguente insieme sia chiuso: $S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x=1-y,x>0,y>0\}$. Secondo me non è aperto, però non riesco a dimostrare che sia chiuso

Salve a tutti. Sto svolgendo questo integrale curvilineo e non so se sia giusto il procedimento che sto adottando. Il testo dell'esercizio chiede: Sia \[ \gamma \] la curva data dall'intersezione della superficie \[ x^2+y^2-z=0\] ed il piano \[ x=y \] Determinare la lunghezza della parte di gamma delimitata dai punti \[ A=(0,0,0) \ B=(1,1,2) \] Abbiamo un paraboloide ellittico e ho parametrizzato il piano come segue: [tex]\gamma: \begin{cases} x = t \\ y= t ...

Ho risolto questa equazione: $ y'=y+e^(x/2 $ riassumo tutto,trovo la primitiva e moltiplico i membri,alla fine ottengo $ ye^-x= int e^(-x/2) $ ora pongo t=-x/2,risolvo tutto e alla fine ottengo: $ y(x)=e^(-x/2)e^x+ce^x $ quindi $ y(x)=e^(x/2)+ce^x $ io penso di aver fatto giusto,ma nel risultato c'è un -2 davanti $ y(x)=-2e^(x/2)+ce^x $ Mo non so se ho sbagliato io o è errata la risoluzione. Grazie p.s. ho capito, mi sono dimenticato dt che diventa -1/2,quindi togliamo fuori dall'integrale -1/2 che ...

Salve. Sto svolgendo questo esercizio sullo studio di funzione: \[ f(x,y) = (x^2+y-1)^2 \] nel dominio \[ E = (x,y) \in R^2 : x^2+y^2 \leq 1 \]. La funzione è continua su tutto R^2, derivabile e differenziabile in quanto le derivate risultano essere continue. Per i punti stazionari nel dominio (punti di max e min relativo) non sono riuscito a trovare neanche un punto. Mentre per i max e min assoluti ( punti stazionari sulla frontiera del dominio) ho un po di difficoltà, nel senso che ho ...

Buongiorno a tutti, svolgendo degli esercizi di ottimizzazione vincolata (seguo un corso di matematica per il business) mi sono imbattuta in un esercizio dove la nostra funzione obiettivo in due variabili è data da una retta e i vincoli compongono una regione ammissibile non convessa. L'esercizio richiede se la funzione obiettivo è convessa o concava, ma non riesco a capire come dimostrarlo. Il metodo di dimostrazione mediante matrice hessiana non è utilizzabile in quanto la matrice in ...

Buonasera, sto trovando difficoltà nella risoluzione del seguente esercizio: Siano date $Q_1=q_1+q_2$ e $Q_2=q_2$, si trovi $F_2(q_1,q_2,P_1,P_2)$ soddisfacente le seguenti condizioni: $Q_1=((dF_2)/(dP_1))$ $Q_2=((dF_2)/(dP_2))$ $p_1=((dF_2)/(dq_1))$ $p_2=((dF_2)/(dq_2))$ Poiché $Q_i$ dipendono solo da $q_i$, allora la trasformazione è puntuale e quindi: $F_2(q_1,q_2,P_1,P_2)=(Q_1+Q_2)P_1 + Q_2P_2$ Tuttavia se non si fosse fatta questa osservazione, come bisognerebbe procedere per ottenere la corretta ...

Salve a tutti. Propongo un altro problema a mio avviso delicato, sempre a tema derivate parziali & co... Abbiamo una funzione \( f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) per la quale esistono tutte le derivate direzionali in ogni punto, \( {{\partial f} \over {\partial v}}(x +tv) \) per \( 0 \le t \le 1 \) . Bisogna dimostrare che esiste \( 0 < \mu < 1 \) tale per cui: \( f(x+v)-f(x)= {{\partial f} \over {\partial v}}(x +\mu v)\) Allora, il mio ragionamento (probabilmente sbagliato) è stato ...

Salve a tutti. Sto preparando l'esame di Analisi e mi sto esercitando sulle prove vecchie date dalla Prof. In una di queste prove c'è la seguente domanda. Stabilire se $e^(x^3)-\root(4)(1-x^4)+x^2\sin(x)$ è trascurabile rispetto a $x^2$ quando $x \to 0^+$. Ora: io so che per stabilire se una funzione è trascurabile rispetto a un'altra devo fare il limite del loro rapporto e se ottengo 0, allora la prima è trascurabile rispetto alla seconda, altrimenti non lo è. Però io qui ho un primo ...

Chiedo scusa, ho un attimo di smarrimento. Vorrei sapere se queste derivate parziali di una funzione di due variabili sono corrette : a me non sembra. grazie .

Se una funzione a più variabili è differenziabile in tutto $\mathbb{R}^n$, allora la funzione è anche di classe $C^1$ in $\mathbb{R}^n$, cioè, ha anche derivate parziali continue? In caso qualcuno saprebbe qualche esempio?

Devo provare che $ \lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{y^2lnx}{(x-1)^2+y^2}=0 $ Ho scritto la funzione in coordinate polari minorata di 0 in valore assoluto $ |f(\rho,\theta)-0|=\frac{\rho^2sen^2\theta|ln(1+\rhocos\theta)|}{(1+\rhocos\theta-1)^2+\rho^2cos^2\theta}= sen^2\theta|ln(1+\rhocos\theta)| $ Ho proseguito con le maggiorazioni alla ricerca di una funzione radiale infinitesima $ sen^2\theta|ln(1+\rhocos\theta)|\le| ln(1+\rhocos\theta)| $ A questo punto volevo usare la maggiorazione $ ln(1+\rhocos\theta)\le \rhocos\theta $ Ma con il valore assoluto risulta essere verificata solo per $ \rhocos\theta >0 $ e non per ogni loro valore. Come posso fare? Grazie

Salve a tutti. Ho la seguente successione definita per ricorrenza a_1 = 1 a_(n+1) = 2(a_n) + e^(-a_n) Tramite lo studio della funzione f(x) = 2x+e^(-x) (definita in R, ma notando che la successione è a valori positivi dalla legge di a_(n+1), la studio in [0, +∞ [ ), sono riuscita a provare che a_n è crescente in [0,+∞ [ Il limite a +∞ di f(x) = +∞, per cui +∞ potrebbe essere il limite di a_n. In ogni caso, dalla regolarità di an, an ammette limite e coincide con il suo sup. Ma non è detto ...

Salve a tutti! Devo calcolare quest'integrale di superficie: \[ \iint_{\Sigma} x^2 + y^2\, dA \] esteso alla superficie: \[ \Sigma : x^2+y^2+z^2= a^2 \\\ z\geq 0\ e \\a>0 \] Io pensavo di usare le coordinate sferiche e ho: \[ 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2} ; 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} ; 0 \leq \rho \leq a \] Ora il dA, come lo calcolo? Potresti darmi una mano? Grazie!!

mi aiutate a risolvere un'equazione del genere? $ y'=-e^xy+e^x $ allora porto le y a sinistra: $ y'+e^xy=e^x $ la a(x) è= $ e^x $ f(x) e la primitiva A(x) escono le stesse moltiplichiamo i membri per la primitiva,ometto il passaggio e arriviamo direttamente alla formula $ ye^(ex)= inte^x e^(e^x) $ sempre che sia giusta,come si prosegue ora? Inoltre ho visto che c'è un'altra formula risolutiva piu immediata,se è sempre esatta: $ y=e^(Ax) int e^-(Ax) b(x) dx $ se questa è esatta diventerebbe: ...

Salve a tutti. Ho un dubbio riguardo un esercizio. Devo studiare l'invertibilità di una funzione nel suo dominio. Questa funzione risulta definita in ]-∞ , 0[ U ]1/2, +∞ [. La funzione non è derivabile nel punto 1, in cui ho un punto di cuspide, derivabile invece in tutti gli altri punti del dominio. Grazie al segno della derivata prima ottengo che è monotona crescente in ]-∞ , 0[ U [1,+∞ [ e decrescente in ]1/2, 1] ( dalla continuità di f includo anche il punto 1) Calcolo le immagini di f ...

Su questo argomento ho studiato da autodidatta,non potendo seguire alcune lezioni,ho alcuni esercizi dove non ho proprio l'idea di come si risolvono,quelli piu complicati naturalmente,e non so a chi chiedere,ad esempio: $ { ( y'=(-sin3x)y+xe^(cos3x)/3 ),( y(0)=2e ):} $ $ { ( y'=(1/cos^2x)y+e^(x+tanx) ),( y(0)=0 ):} $ so che dobbiamo integrare la derivata prima e poi soddisfare le condizioni iniziali,ma come vanno risolte equazioni del genere? Grazie in anticipo