Hessiano Nullo
Ciao ragazzi.
Ho un dubbio riguardo quest'esercizio:
$f(x,y)=(1-xy)^2$ nell'insieme $ E={(x,y)\inR^2 | x^2+y^2/4<=1}$
Facendo il gradiente: $\nablaf(x,y)=0$ ottengo i seguenti punti: $Po=(0,0)$, $P_1=(h,1/h)$.
Ho un punto di sella $Po=(0,0)$ e un Hessiano nullo per $P_1$.
Facendo il $\trianglef(x,y)= f(x,y)-f(h,1/h)=f(x,y)$, quindi $f(x,y)=(1-xy)^2>=0$
A questo punto...La funzione è sempre positiva, ma non capisco come applicarlo al punto $P_1$.
Cioè come stabilisco se è massimo o minimo o sella?
Grazie a tutti!
Ho un dubbio riguardo quest'esercizio:
$f(x,y)=(1-xy)^2$ nell'insieme $ E={(x,y)\inR^2 | x^2+y^2/4<=1}$
Facendo il gradiente: $\nablaf(x,y)=0$ ottengo i seguenti punti: $Po=(0,0)$, $P_1=(h,1/h)$.
Ho un punto di sella $Po=(0,0)$ e un Hessiano nullo per $P_1$.
Facendo il $\trianglef(x,y)= f(x,y)-f(h,1/h)=f(x,y)$, quindi $f(x,y)=(1-xy)^2>=0$
A questo punto...La funzione è sempre positiva, ma non capisco come applicarlo al punto $P_1$.
Cioè come stabilisco se è massimo o minimo o sella?
Grazie a tutti!
Risposte
Ciao! Occhio che $h$ non può assumere qualsiasi valore reale, innanzitutto deve essere diverso da $0$ (è presente al denominatore!) e deve essere tale che i punti del tipo $\left(h,\frac{1}{h}\right)$ siano interni all'insieme determinato dal vincolo.
Hai che $f(x,y) -f\left(h,\frac{1}{h}\right) \ge 0$ per ogni $(x,y) \in E$ e per ogni $h \ne 0$ tale da soddisfare l'insieme aperto corrispondente al vincolo. Quindi, che punti sono $\left(h,\frac{1}{h}\right)$? Ricordati che stai studiando la disuguaglianza $f(x,y) \ge f\left(h,\frac{1}{h}\right)$ per un motivo ben preciso. Perché studi quel $\Delta$? A cosa stai cercando di arrivare? Se ti fai queste domande in maniera critica, ti puoi rispondere da solo.
Aggiungo poi che ti converrebbe anche farti preventivamente un'idea di cosa può succedere usando la teoria: l'insieme $E$ è compatto (chiuso e limitato) ed $f$ è continua in $E$, pertanto per il teorema di Weierstrass esistono massimo e minimo assoluti di $f$ in $E$. Quindi devono venire fuori massimo e minimo, qualsiasi sia la tecnica che usi per determinarli.
Hai che $f(x,y) -f\left(h,\frac{1}{h}\right) \ge 0$ per ogni $(x,y) \in E$ e per ogni $h \ne 0$ tale da soddisfare l'insieme aperto corrispondente al vincolo. Quindi, che punti sono $\left(h,\frac{1}{h}\right)$? Ricordati che stai studiando la disuguaglianza $f(x,y) \ge f\left(h,\frac{1}{h}\right)$ per un motivo ben preciso. Perché studi quel $\Delta$? A cosa stai cercando di arrivare? Se ti fai queste domande in maniera critica, ti puoi rispondere da solo.
Aggiungo poi che ti converrebbe anche farti preventivamente un'idea di cosa può succedere usando la teoria: l'insieme $E$ è compatto (chiuso e limitato) ed $f$ è continua in $E$, pertanto per il teorema di Weierstrass esistono massimo e minimo assoluti di $f$ in $E$. Quindi devono venire fuori massimo e minimo, qualsiasi sia la tecnica che usi per determinarli.
Allora. Studio il $\trianglef$ ovvero l'incremento della funzione intorno al puno $P_1$. Inoltre considerando che $f(P_1)=0$ e l'incremento è sempre positivo,in quanto $(1-xy)^2>=0$, quindi la funzione li aumenta e basta.
Mi verrebbe da dire che $P_1$ è di minimo
Mi verrebbe da dire che $P_1$ è di minimo
Sì, esatto, ma minimo come? Relativo o assoluto? E se relativo, perché? Se assoluto, perché?
Credo sia relativo,ma ho difficoltà a dire perché.
Non è corretto. Per due motivi: non puoi prendere $h=2$, perché non hai ragionato su quello che ti ho detto qui:
Secondo motivo: che c'entra ciò con il fatto di essere minimo relativo o minimo assoluto? Se non hai chiare le definizione di minimo assoluto/relativo è normale che tu abbia questi dubbi. Rivedile per bene e ne riparliamo qui
.
"Mephlip":
Occhio che $h$ non può assumere qualsiasi valore reale, innanzitutto deve essere diverso da $0$ (è presente al denominatore!) e deve essere tale che i punti del tipo $\left(h,\frac{1}{h}\right)$ siano interni all'insieme determinato dal vincolo.
Secondo motivo: che c'entra ciò con il fatto di essere minimo relativo o minimo assoluto? Se non hai chiare le definizione di minimo assoluto/relativo è normale che tu abbia questi dubbi. Rivedile per bene e ne riparliamo qui
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La condizione per essere minimo relativo è: $\forallx \in B_r(x_0,y_0)$ risulta che: $f(x,y)>=f(x_0,y_0)$. Che è appunto la mia situazione
La condizione è soddisfatta perché è un minimo assoluto, ed essere minimo assoluto implica essere anche un minimo relativo. Il problema principale è che quando usi la disuguaglianza $f(x,y) \ge f\left(h,\frac{1}{h}\right)$ non la quantifichi. Tralasciando un attimo quali valori può assumere $h$ (che, se li discutessimo, ti accorgeresti che è stato del tutto inutile calcolare la matrice hessiana), la disuguaglianza $f(x,y) \ge f\left(h,\frac{1}{h}\right) \iff (1-xy)^2 \ge 0$ è verificata per ogni $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ e pertanto, in particolare, è verificata per ogni $(x,y) \in E$.
Ne segue che $f(x,y) \ge f\left(h,\frac{1}{h}\right)$ per ogni $(x,y) \in E$. Non è la condizione di minimo relativo per $\left(h,\frac{1}{h}\right)$, bensì di minimo assoluto per $\left(h,\frac{1}{h}\right)$.
Tornando a quello che ti ho detto all'inizio, se una disuguaglianza vale in tutto $E$ chiaramente vale anche in ogni intorno $B_r(a,b)$ contenuto in $E$ qualsiasi sia $(a,b) \in E$; meglio dire in $E \cap B_r(a,b)$, visto che con gli intorni potremmo uscire da $E$. Ecco perché soddisfa anche quella di minimo relativo.
Perché ti ho detto che è inutile calcolare l'hessiana? Perché il metodo dell'hessiana è valido in un insieme aperto. Questo perché i punti che annullano il gradiente sono punti stazionari interni. Ti sembra aperto $E$? Non lo è, pertanto tutto ciò vale in $x^2+\frac{y^2}{4}<1$. Quindi devi assicurarti che i punti trovati soddisfino $x^2+\frac{y^2}{4}<1$; l'origine sì, ma $\left(h,\frac{1}{h}\right)$ per ogni $h \ne 0$? Soddisfa $h^2+\frac{1}{4h^2}<1$ per ogni $h \ne 0$?
Ne segue che $f(x,y) \ge f\left(h,\frac{1}{h}\right)$ per ogni $(x,y) \in E$. Non è la condizione di minimo relativo per $\left(h,\frac{1}{h}\right)$, bensì di minimo assoluto per $\left(h,\frac{1}{h}\right)$.
Tornando a quello che ti ho detto all'inizio, se una disuguaglianza vale in tutto $E$ chiaramente vale anche in ogni intorno $B_r(a,b)$ contenuto in $E$ qualsiasi sia $(a,b) \in E$; meglio dire in $E \cap B_r(a,b)$, visto che con gli intorni potremmo uscire da $E$. Ecco perché soddisfa anche quella di minimo relativo.
Perché ti ho detto che è inutile calcolare l'hessiana? Perché il metodo dell'hessiana è valido in un insieme aperto. Questo perché i punti che annullano il gradiente sono punti stazionari interni. Ti sembra aperto $E$? Non lo è, pertanto tutto ciò vale in $x^2+\frac{y^2}{4}<1$. Quindi devi assicurarti che i punti trovati soddisfino $x^2+\frac{y^2}{4}<1$; l'origine sì, ma $\left(h,\frac{1}{h}\right)$ per ogni $h \ne 0$? Soddisfa $h^2+\frac{1}{4h^2}<1$ per ogni $h \ne 0$?
No non la soddisfa
Esatto, quindi solo l'origine è un punto stazionario interno ed è di sella. Perciò, dato che $f$ ammette certamente massimo e minimo assoluti in $E$ per Weierstrass, essi devono trovarsi necessariamente sulla frontiera di $E$.
Per essi, puoi procedere come vuoi ora: parametrizzando il bordo oppure usando i moltiplicatori di Lagrange.
Per essi, puoi procedere come vuoi ora: parametrizzando il bordo oppure usando i moltiplicatori di Lagrange.
Che dire..grazie mille. Domani mi rivedrò meglio la teoria sicuramente!
Prego! Tranquillo, è normale in prima passata avere questi dubbi. Ho notato che è una lacuna frequente che tipicamente viene dal calcolo differenziale in una variabile.
P.S.: Chiaramente, troverai che per un certo valore specifico di $h \ne 0$ il punto $\left(h,\frac{1}{h}\right)$ sarà punto di minimo assoluto. Ma ciò non segue dall'hessiana e tutto quel discorso, perché come detto prima non è applicabile per quei punti, ma segue dalla disuguaglianza di prima. Sostanzialmente, è come se avessi trovato brutalmente il punto di minimo assoluto usando la definizione.
P.S.: Chiaramente, troverai che per un certo valore specifico di $h \ne 0$ il punto $\left(h,\frac{1}{h}\right)$ sarà punto di minimo assoluto. Ma ciò non segue dall'hessiana e tutto quel discorso, perché come detto prima non è applicabile per quei punti, ma segue dalla disuguaglianza di prima. Sostanzialmente, è come se avessi trovato brutalmente il punto di minimo assoluto usando la definizione.
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