Punti stazionari sul Dominio e Frontiera
Salve a tutti.
Ho provato a calcolare i punti stazionari di questa funzione che risulta essere non continua in $(0,0)$ ma derivabile in esso.
\begin{equation}
z=\begin{cases}
\frac{xy}{x^2+y^2} & \mathrm{se}\ (x,y)\neq(0,0)\\
0& \mathrm{se}\ (x,y)=(0,0)
\end{cases}
\end{equation}
In $E={(x,y)\inR^2: 9x^2+y^2-9<=0}$
Impostando $\gradf=0$ mi risultano due punti stazionari: $(0,0)$ e $(h,h)$,l'origine non viene considerata e mi concentro ora sul secondo punto. Svolgendo i calcoli ottengo un hessiano nullo,quindi mi calcolo il $\trianglef$ e ottengo: $\trianglef=f(x,y)-f(h,h)>=0 \Rightarrow (x-y)^2/(2(x^2+y^2))<=0$ Proseguendo con i calcoli mi viene che ci sono infiniti punti critici lungo la bisettrice $y=x$ per la precisione punti di massimo. (Non so se il risultato è corretto). Per quanto riguarda i punti sulla frontiera ho provato a parametrizzare l'ellisse: $\gamma: (cost,3sint)$ e applicandolo ad $f|_\gamma:(cost,3sint)= (3costsint)/(cos^2t+9sin^2t)$ Ora dovrei derivare e porre uguale a zero il tutto cercando le soluzioni. Non capisco se sto svolgendo bene questo passaggio,nel senso che derivando quella funzione viene fuori una cosa bella pesantuccia e non credo che si debba procedere cosi. Ho tentanto anche con i moltiplicatori ma mi viene fuori questo sistema:
\begin{cases}
y(y^2-x^2)+18x\lambda &= 0 \\
x(x^2-y^2)+2y\lambda &= 0 \\
9x^2+y^2-9 &= 0
\end{cases}
E' giusto o c'è qualche errore?
Grazie
Ho provato a calcolare i punti stazionari di questa funzione che risulta essere non continua in $(0,0)$ ma derivabile in esso.
\begin{equation}
z=\begin{cases}
\frac{xy}{x^2+y^2} & \mathrm{se}\ (x,y)\neq(0,0)\\
0& \mathrm{se}\ (x,y)=(0,0)
\end{cases}
\end{equation}
In $E={(x,y)\inR^2: 9x^2+y^2-9<=0}$
Impostando $\gradf=0$ mi risultano due punti stazionari: $(0,0)$ e $(h,h)$,l'origine non viene considerata e mi concentro ora sul secondo punto. Svolgendo i calcoli ottengo un hessiano nullo,quindi mi calcolo il $\trianglef$ e ottengo: $\trianglef=f(x,y)-f(h,h)>=0 \Rightarrow (x-y)^2/(2(x^2+y^2))<=0$ Proseguendo con i calcoli mi viene che ci sono infiniti punti critici lungo la bisettrice $y=x$ per la precisione punti di massimo. (Non so se il risultato è corretto). Per quanto riguarda i punti sulla frontiera ho provato a parametrizzare l'ellisse: $\gamma: (cost,3sint)$ e applicandolo ad $f|_\gamma:(cost,3sint)= (3costsint)/(cos^2t+9sin^2t)$ Ora dovrei derivare e porre uguale a zero il tutto cercando le soluzioni. Non capisco se sto svolgendo bene questo passaggio,nel senso che derivando quella funzione viene fuori una cosa bella pesantuccia e non credo che si debba procedere cosi. Ho tentanto anche con i moltiplicatori ma mi viene fuori questo sistema:
\begin{cases}
y(y^2-x^2)+18x\lambda &= 0 \\
x(x^2-y^2)+2y\lambda &= 0 \\
9x^2+y^2-9 &= 0
\end{cases}
E' giusto o c'è qualche errore?
Grazie
Risposte
"Dr.Hermann":
E' giusto o c'è qualche errore?
La seconda che hai detto...
Nelle prime due equazioni del sistema ti sei dimenticato di moltiplicare i termini in $\lambda$ per il denominatore delle derivate (rispetto a $x$ e rispetto a $y$) $(x^2 + y^2)^2 $
Lungo \(x=y\) hai dei massimi *locali*, attenzione, non dire "punti di massimo" altrimenti si capisce che sono massimi globali. Mi pare che tu ti stia perdendo i punti critici su \(x=-y\). Quelli sono dei minimi, *locali*. In ogni caso se il tuo obiettivo è trovare massimi e minimi globali è chiaro che li devi cercare sulla frontiera, o con quella parametrizzazione o con il metodo di Lagrange.
"dissonance":
Lungo \(x=y\) hai dei massimi *locali*, attenzione, non dire "punti di massimo" altrimenti si capisce che sono massimi globali. Mi pare che tu ti stia perdendo i punti critici su \(x=-y\). Quelli sono dei minimi, *locali*.
Riusciresti cortesemente a mettermi qualche passaggio riguardo i calcoli dei minimi e massimi locali perché non riesco ad ottenere il tuo risultato su $x=-y$.
Grazie!
Nelle prime due equazioni del sistema ti sei dimenticato di moltiplicare i termini in $\lambda$ per il denominatore delle derivate (rispetto a $x$ e rispetto a $y$) $(x^2 + y^2)^2 $
Grazie!
Si, dunque, i punti critici sono dati da \(x^2=y^2\); infatti
\[
\partial_x f = (1-2x^2(x^2+y^2)^{-1})y(x^2+y^2)^{-1} \]
che si annulla se e solo se \(x^2=y^2\) oppure \(y=0\), e per simmetria
\[
\partial_y f = (1-2y^2(x^2+y^2)^{-1})x(x^2+y^2)^{-1},\]
(questo non c'è bisogno di calcolarlo, basta scambiare \(x\) e \(y\) nel calcolo precedente), che pure si annulla se e solo se \(x^2=y^2\) oppure \(x=0\).
Quindi i punti critici sono di due tipi; o \((x, x)\) o \((x, -x)\), con \(x\ne 0\). Si può discutere se l'origine \((0,0)\) sia un punto critico o no ma è un dibattito puramente formale, visto che la funzione non è differenziabile in quel punto, che quindi va trattato a parte in ogni caso. Per stabilire che i punti \((x, -x)\) sono minimi locali ho fissato una \(x\ne 0\) e ho calcolato
\[
f(x+t, -x+t)-f(x, -x)=\frac{t^2-x^2}{2(x^2+t^2)}+\frac12 = \frac{t^2}{x^2+t^2} \ge 0, \]
quindi \(f(x+t, -x+t)\ge f(x, -x)\) per ogni \(t\in \mathbb R\). E questo è sufficiente a concludere che \((x, -x)\) è un punto di minimo locale.
Perché questo è sufficiente? È un po' fastidioso scrivere tutti i dettagli. La funzione è costante lungo la retta \((x+t, -x-t)\), mentre \((x+t, -x+t)\) è la retta ad essa ortogonale; qua è imprescindibile fare un disegnino per capire cosa sta succedendo. Se vuoi più dettagli ne dobbiamo riparlare dopo.
\[
\partial_x f = (1-2x^2(x^2+y^2)^{-1})y(x^2+y^2)^{-1} \]
che si annulla se e solo se \(x^2=y^2\) oppure \(y=0\), e per simmetria
\[
\partial_y f = (1-2y^2(x^2+y^2)^{-1})x(x^2+y^2)^{-1},\]
(questo non c'è bisogno di calcolarlo, basta scambiare \(x\) e \(y\) nel calcolo precedente), che pure si annulla se e solo se \(x^2=y^2\) oppure \(x=0\).
Quindi i punti critici sono di due tipi; o \((x, x)\) o \((x, -x)\), con \(x\ne 0\). Si può discutere se l'origine \((0,0)\) sia un punto critico o no ma è un dibattito puramente formale, visto che la funzione non è differenziabile in quel punto, che quindi va trattato a parte in ogni caso. Per stabilire che i punti \((x, -x)\) sono minimi locali ho fissato una \(x\ne 0\) e ho calcolato
\[
f(x+t, -x+t)-f(x, -x)=\frac{t^2-x^2}{2(x^2+t^2)}+\frac12 = \frac{t^2}{x^2+t^2} \ge 0, \]
quindi \(f(x+t, -x+t)\ge f(x, -x)\) per ogni \(t\in \mathbb R\). E questo è sufficiente a concludere che \((x, -x)\) è un punto di minimo locale.
Perché questo è sufficiente? È un po' fastidioso scrivere tutti i dettagli. La funzione è costante lungo la retta \((x+t, -x-t)\), mentre \((x+t, -x+t)\) è la retta ad essa ortogonale; qua è imprescindibile fare un disegnino per capire cosa sta succedendo. Se vuoi più dettagli ne dobbiamo riparlare dopo.
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