Dubbio sulla dimostrazione del Teorema del Dini
Buonasera a tutti! Stavo leggendo la faticosa dimostrazione del Teorema del Dini per sistemi dal Fusco, Marcellini, Sbordone (che, per la cronaca, viene dedotto dal Teorema di Banach-Caccioppoli e non da quello di invertibilità locale, come ho trovato fare in qualsiasi altro testo) e non ho idea del perché di un certo passaggio che, tra i vari, sembrerebbe abbastanza scontato 
Per come è scritto (e per quel che ho inteso), sembra che il motivo sia nei righi appena sopra e che non si sfrutti alcunché delle costruzioni preliminari quindi vi riporto i righi in questione nella speranza che sappiate decifrarli meglio di me: considerate \(G:\mathbb{R}^{n+h}\to\mathbb{R}^h\), \((x_0,y_0)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^h\) e opportunamente con \(\|\cdot\|\) la norma 2 per matrici e per vettori di $\mathbb{R}^n$ e $\mathbb{R}^h$.
Il dubbio è sulla seconda affermazione perché la stima di $\nabla G(x,y)$ è chiara: ho provato a sfruttare la differenziabilità (in virtù del Teorema del differenziale totale) e la continuità di $G$ ma non riuscivo in nessun modo a dedurre il suddetto fatto; inoltre, non capisco (se e) come la frase in grassetto possa servire per dedurre la disuguaglianza che segue. Vi ringrazio anticipatamente nell'attesa di vostri pareri.
Per come è scritto (e per quel che ho inteso), sembra che il motivo sia nei righi appena sopra e che non si sfrutti alcunché delle costruzioni preliminari quindi vi riporto i righi in questione nella speranza che sappiate decifrarli meglio di me: considerate \(G:\mathbb{R}^{n+h}\to\mathbb{R}^h\), \((x_0,y_0)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^h\) e opportunamente con \(\|\cdot\|\) la norma 2 per matrici e per vettori di $\mathbb{R}^n$ e $\mathbb{R}^h$. Essendo $G(x_0,y_0)=0$, segue [da chiari ragionamenti precedenti] che $\nabla G(x_0,y_0)=0$. Dato che $G$ è di classe $C^1$, esiste un numero $\rho_0>0$ tale che \[\|\nabla G(x,y)\|\leq \frac 1{2\sqrt h},\qquad\forall(x,y)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^h, \|x-x_0\|,\|y-y_0\|\leq\rho_0\] dunque, tenendo conto che $G$ ha $h$ [funzioni] componenti, \[\|G(x_1,y_1)-G(x_2,y_2)\|\leq\frac12 (\|x_1-x_2\|+\|y_1-y_2\|)\] per ogni \((x_{1,2},y_{1,2})\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^h,\|x_{1,2}-x_0\|,\|y_{1,2}-y_0\|\leq\rho_0\).
Il dubbio è sulla seconda affermazione perché la stima di $\nabla G(x,y)$ è chiara: ho provato a sfruttare la differenziabilità (in virtù del Teorema del differenziale totale) e la continuità di $G$ ma non riuscivo in nessun modo a dedurre il suddetto fatto; inoltre, non capisco (se e) come la frase in grassetto possa servire per dedurre la disuguaglianza che segue. Vi ringrazio anticipatamente nell'attesa di vostri pareri.
Risposte
La frase in grassetto sembra suggerire che la stima effettuata sia una stima di lipschitzianità: hai che la norma del gradiente di $G$ è limitata da $\frac{1}{2\sqrt{h}}$ e quindi dovrebbe esserci un teorema, collegato alla costante di Lipschitz di $G$, che garantisce la stima ottenuta su $\norm{G(x_1,y_1)-G(x_2,y_2)}$ . Magari aspetta pareri da chi se lo ricorda meglio.
Ti ringrazio Mephlip, il tuo suggerimento è stato vincente. Ripescando tra appunti di altri anni, ho trovato il risultato cui sicuramente ti riferivi:
Effettivamente, con questo teorema ha senso scrivere
Se diciamo \(I:=\{x\in\mathbb{R}^n\,|\,\|x-x_0\|\leq\rho_0\}\) e \(J:=\{y\in\mathbb{R}^h\,|\,\|y-y_0\|\leq\rho_0\}\), è chiaro che $I\times J$ è un convesso di $\mathbb{R}^{n+h}$ quindi, essendo \(G=(G_1,\dots,G_h)\) e avendosi \[\forall\,i\in\{1,\dots,h\}\,\forall\,(x,y)\in I\times J: \|\nabla G_i(x,y)\|\leq\|\nabla G(x,y)\|\leq\frac 1{2\sqrt{h}}\] segue che \[\forall\,i\in\{1,\dots,h\}\,\forall\,(x_{1,2},y_{1,2})\in I\times J: \|G_i(x_1,y_1)-G_i(x_2,y_2)\|\leq\frac 1{2\sqrt{h}}\|(x_1,y_1)-(x_2,y_2)\|.\] Detto ciò, è immediato trovare che per ogni \((x_{1,2},y_{1,2})\in I\times J\)\[\|G(x_1,y_1)-G(x_2,y_2)\|=\sqrt{\sum_{i=1}^h (G_i(x_1,y_1)-G_i(x_2,y_2))^2}\leq\sqrt{\sum_{i=1}^h \frac 1{4h}\|(x_1,y_1),(x_2,y_2)\|^2}=\\=\frac 12 \sqrt{\sum_{k=1}^n (x^k_1-x^k_2)^2+\sum_{k=1}^h (y^k_1-y^k_2)^2}\leq\frac 12 (\|x_1-x_2\|+\|y_1-y_2\|).\]
Siano \(\Omega\subset\mathbb{R}^n\) un convesso e \(f:\Omega\to\mathbb{R}\) differenziabile. Se esiste $M>0$ tale che \(\|\nabla f(x)\|\leq M\) per ogni $x\in\Omega$, allora $f$ è Lipschitziana e risulta che \[\forall\,x,y\in\Omega: |f(x)-f(y)|\leq M\|x-y\|.\]
Effettivamente, con questo teorema ha senso scrivere
"Bianco17":
tenendo conto che $ G $ ha $ h $ [funzioni] componenti, \[ \|G(x_1,y_1)-G(x_2,y_2)\|\leq\frac12 (\|x_1-x_2\|+\|y_1-y_2\|) \] per ogni \( (x_{1,2},y_{1,2})\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^h,\|x_{1,2}-x_0\|,\|y_{1,2}-y_0\|\leq\rho_0 \).
Se diciamo \(I:=\{x\in\mathbb{R}^n\,|\,\|x-x_0\|\leq\rho_0\}\) e \(J:=\{y\in\mathbb{R}^h\,|\,\|y-y_0\|\leq\rho_0\}\), è chiaro che $I\times J$ è un convesso di $\mathbb{R}^{n+h}$ quindi, essendo \(G=(G_1,\dots,G_h)\) e avendosi \[\forall\,i\in\{1,\dots,h\}\,\forall\,(x,y)\in I\times J: \|\nabla G_i(x,y)\|\leq\|\nabla G(x,y)\|\leq\frac 1{2\sqrt{h}}\] segue che \[\forall\,i\in\{1,\dots,h\}\,\forall\,(x_{1,2},y_{1,2})\in I\times J: \|G_i(x_1,y_1)-G_i(x_2,y_2)\|\leq\frac 1{2\sqrt{h}}\|(x_1,y_1)-(x_2,y_2)\|.\] Detto ciò, è immediato trovare che per ogni \((x_{1,2},y_{1,2})\in I\times J\)\[\|G(x_1,y_1)-G(x_2,y_2)\|=\sqrt{\sum_{i=1}^h (G_i(x_1,y_1)-G_i(x_2,y_2))^2}\leq\sqrt{\sum_{i=1}^h \frac 1{4h}\|(x_1,y_1),(x_2,y_2)\|^2}=\\=\frac 12 \sqrt{\sum_{k=1}^n (x^k_1-x^k_2)^2+\sum_{k=1}^h (y^k_1-y^k_2)^2}\leq\frac 12 (\|x_1-x_2\|+\|y_1-y_2\|).\]
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