Analisi matematica di base

Sia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , positiva e derivabile due volte con $ f''(z)<M$, $M>0$ , $\forall z \in \mathbb{R}$. Dimostrare che, $\forall x \in \mathbb{R}$, $|f'(x)|< \sqrt{2Mf(x)}$. Il libro da anche un suggerimento: scrivere la formula di Taylor con centro x, arrestata al secondo ordime ed usare l'ipotesi su f''. Quindi: $f(z)=f(x)+f'(x)(z-x)+(f''(x))/2(z-x)^2 +o((z-x)^2)$. Ora applico l'ipotesi per ottenere una maggiorazione $f(z)=f(x)+f'(x)(z-x)+(f''(x))/2(z-x)^2 +o((z-x)^2) < f(x)+f'(x)(z-x)+M/2(z-x)^2 +o((z-x)^2)$. Ora non so più come continuare, qualche aiuto?

Salve, Mi trovo in difficoltà nell'affrontare il seguente esercizio : Calcolare la lunghezza della curva [size=150]L(t)=( 5*cos(t) - cos(5t) , 5*sen(t) - sen(5t) )[/size] con t appartenente [0,2pi greco] e l' area della regione di piano racchiusa dalla curva L. Ora per il calcolo della lunghezza non ho problemi, ma per il calcolo della regione di piano vado molto in difficoltà. Grazie in anticipo per la disponibilità !!!

Ciao a tutti, mi servirebbe una mano con la seguente funzione $ f(x)=logabs(2e^(2x)-e^x-1) $ Come faccio ad eliminare il modulo? Mi spiego meglio. Se ho $ abs(x-1)={ ( x-1 ),( 1-x ):} $ In questo caso cosa dovrei fare?

In generale una funzione è invertibile se è sia suriettiva che iniettiva. Nel caso particolare in cui si restringe il Codominio all' immagine di f , mi basta la sola iniettività per affermare che f è invertibile. Questo perché così facendo avrei che ogni elemento del codominio è sicuramente 'coperto' cioè è immagine di un solo elemento del dominio . Quindi in questa circostanza ricavo la biettività di f dalla semplice iniettività? Confermate?

Salve, oggi la docente di analisi ha fatto questo esercizio alla lavagna che non ho ben capito: sia $A={n in NN: 2018((n-1)/(n+1))^2018>=2017}$ questo insieme ha cardinalità finita? la prof lo ha svolto così: $n in A iff (n-1)/(n+1)>=((2017)/(2018))^(1/2018)$ quindi $n in A$ solo se questa disuguaglianza è verificata ha poi detto che $((2017)/(2018))^(1/2018)$ era $alpha < != 1$ poi però è passata a questo: $((n-1)/(n+1))^(+-2) = 1-(2)/(n+1)$ e qui non ci ho capito assolutamente nulla... come è arrivata a tutto ciò? delucidazioni?

Ciao Se una quantità può essere divisa esattamente per 2 la posso vedere come somma di 2 parti uguali. Se una quantità è divisa esattamente per 1 coincide con l'intero. Ma se una quantità risulta divisa, ad esempio, in 1,6 parti uguali, come posso immaginarla? Voglio dire: Se $n/m$ non è un numero imtero, allora non si dovrebbe dire che $n$ non si può dividere in parti uguali di grandezza $m$? Dove sbaglio? Grazie.

ciao, ho provato a fare questo limite ma ero indeciso sul metodo con cui l'ho risolto... $\lim_{n \to \infty}n^(alpha)*log((n^3+2n)/(3n^2+n^3))$ io l'ho svolto così... $\lim_{n \to \infty}n^(alpha)*log((n^3*(((2n))/(n^3)+1))/(n^3*((3n^2)/n^3+1)))$ $\lim_{n \to \infty}n^(alpha)*log((n^3)/(n^3))$ $\lim_{n \to \infty}n^(alpha)*(log(n^3)-log(n^3))$ $\lim_{n \to \infty}n^(alpha)log(n^3)-n^(alpha)(log(n^3)=0$ se fosse così sarebbe strano... un aiuto?

Ciao a tutti! Volevo chiedere il vostro parere sulla soluzione del seguente esercizio. Si consideri l'ordinamento di Sharkovsky in $\mathbb{N}^\star:= \mathbb{N}\\{0\}$: \[ 1 < 2^2 < 2^3 < \dots < \dots < 2^3\cdot 7 < 2^3 \cdot 5 < 2^3 \cdot 3 < \dots < 2^2\cdot 7 < 2^2 \cdot 5 < 2^2 \cdot 3 < \dots < 7 < 5 < 3 \] dove ho usato $<$ per indicare la relazione d'ordine perché il triangolo che volevo non funzionava (scelta infelice, ma spero si capisca lo stesso, non è da intendersi come il ...

Una successione di funzioni ${g_k}$ positive e continue, $g_k:RR->[0,oo)$ tale per cui vale questa condizione: $lim_(k->oo)g_k(x)=oo$ se e solo se $x$ é irrazionale Può esistere?

Ciao ragazzi per poco tempo vi faccio questa domanda,è indispensabile conoscere il metodo delle somiglianze?Oppure serve solo a rendere meno difficile alcuni casi?Per mancanza di tempo vorrei saltarlo ma poi dipende,grazie mille!

Salve ragazzi, sto diventando scemo per sta serie, vi posto il testo del problema: Stabilire se la serie $sum_(n = 1)^(+oo)((sqrt(x^2+n)-x)/n^2) $ converge puntalmente nell'intervallo $[0,+oo)$. La convergenza è anche uniforme nell'intervallo? Per capire se la serie converge ho usato il criterio del confronto asintotico ed ho visto che questa serie converge in tutto $R$, quindi converge anche in $[0,+oo)$ Il problema è capire se converge anche uniformemente, per fare ciò pensavo di ...

Nello spazio vettoriale R^3 si considerino i sottospazi: U={(x,y,z) ∈ R^3 | x=-y=-z}, e V generato dai vettori v1=(1,0,1) e v2=(1,-3,-5). Allora: - determinare basi e dimensioni di U e V - Si determinino U ∩ V e U+V - si dica per quali valori del numero reale p, il vettore v=(1,-1,p) appartiene a V Perfavore, spiegatemi i passaggi che fate

Non riesco a risolvere questa disequazione $ | (e^alpha -1) / (e^alpha + 1)| < 1 $

Salve, non so come ma mi è venuto un dubbio assurdo su una cosa che ho sempre considerato banalissima: $e^(2pii) = 1$ $e^(pii/3) = cos(pi/3)+isin(pi/3)$ Ma, scusate l'ignoranza, $e^(pii/3)$ non lo posso anche scrivere come $(e^(2pii))^(1/6) = (1)^(1/6) = 1 $ ?? MI sento stupido in questo momento...

Salve, ho quest'esercizio: Dimostra o confuta: Se $ f: R-> R$ è tale che $ lim_(x -> +∞) |f(x)|= +∞ => lim_(x->+∞) f(x) = +∞ $ oppure $lim_(x->+∞) f(x)= -∞$ La stessa cosa poi è da dimostrare se la f iniziale $ f: R-> R$ è continua Allora io sono partita dalla definizione e quindi ottengo: $ AA N>0 , EE M>0 $ tale che se $x>M$ allora $|f(x)| > N$ da cui quindi si ha la definizione per la $lim_(x->+∞) f(x) = +∞$ però ho anche che f(x) < -N e da qui come posso ricondurmi al caso $-∞$?

$2^n*n! < n^n$ con $n>=6$ i)Passo base: è banale. ii)$2^(n+1)*(n + 1)! = 2(n + 1)2^n*n!<2(n+1)n^n$ $(n+1)^k = sum_(j =0 ) ^(k) ( (k), (j) ) n^(k-j) >= n^k+k*n^(k-1)+k(k-1)/2 *n^(k-2)$ Non riesco a capire la disuguaglianza che sta dopo il binomio di newton da dove nasce

Buongiorno, avrei bisogno di una mano con la seguente equazione: $ z^2(1+|z|^2)=-2i $ Qualcuno potrebbe aiutarmi per favore?

Sia $ alpha in R$. Discutere $ lim_(x -> ∞) ((x^3-x^alpha)/(x^3+senx+x))^x $ Non so proprio dove mettere mano..

sto cercando di risolvere questa equazione: $ alpha = log [ (1+sen x)/(1-sen x) ]$ che nel libro mi dà uguale a $ sen x = ( e ^ alpha - 1)/(e ^ alpha +1)$ ma non capisco perchè poiche non vedo i passaggi. P.s. Il seno è calcolato nell'intervallo $ [-pi ; pi] $

Mi potreste aiutare a risolvere questi due esercizi? Devo studiare eventuali punti di discontinuità per: a) $ f(x) = xsen(1/(sen(1/x)))$ se x diverso da 1/(k pi), k in Z e x diverso da zero, oppure f(x) = 0 se $x = 1/(k pi)$ o x=0 b) $f(x) = (x^2 +|x| +3)^(1/2) -|x|$ allora per il primo sono riuscita a dimostrare che è continua in 0, ma non riesco a svolgere l'esercizio per $x = 1/(k pi)$ mentre il secondo non mi viene proprio Comunque, potreste spiegarmi meglio il procedimento per svolgere tali esercizi? ...