Limite con coseno iperbolico

[ravanello2]

Ciao a tutti,
sono di nuovo ad annoiarvi con i miei problemi sui limiti di funzione.

Stavolta è questo:

$\lim_{x \to \infty}x[(coshx)^(1/x)-(1+1/x)^x]$

Ho provato esplicitando la definizione del coseno iperbolico e quindi esprimendo il primo termine in $\e^log(x/(2e)(e^(2x)+1)^(1/x))$ e poi utilizzando le proprietà del logaritmo ho ricavato $\e^(logx-log2-1+(1/x)log(e^(2x)+1))$ ; stessa cosa per il secondo termine ma alla fine ritorno sempre ad una forma di indecisione, in sostanza non riesco a liberarmi della $\x$ o di $\e^logx$.

Qualcuno ha qualche suggerimento?

Grazie infinite a tutti.

[ravanello2]

Cavoli, più di 60 accessi e nessuna risposta.....
O è talmente semplice che devo cavarmela da solo o vi ho messo in difficoltà )

[pilloeffe]

Ciao ravanello,

Qui mi ci è voluto un po'...
Ammesso di aver fatto bene i conti, non escludo si possano trovare soluzioni più semplici:

$ lim_{x \to +\infty}x[(coshx)^(1/x)-(1+1/x)^x] = lim_{x \to +\infty}x[e^{frac{1}{x} ln(coshx)}-(1+1/x)^x] = $

$ = lim_{x \to +\infty}x[e^{frac{1}{x} ln(coshx)} - e + e - (1+1/x)^x] = lim_{x \to +\infty}x{e^{frac{1}{x} ln(coshx)} - e - [(1+1/x)^x - e]} = $
$ = lim_{x \to +\infty} x {e^{frac{1}{x} ln[e^{x} (frac{1 + e^{-2x}}{2})]} - e - [(1+1/x)^x - e]} = $
$ = lim_{x \to +\infty} x {e^{frac{1}{x} ln e^{x} + frac{1}{x} ln(frac{1 + e^{-2x}}{2})} - e - [(1+1/x)^x - e]} = $
$ = e \cdot lim_{x \to +\infty} frac{[e^{1 + frac{1}{x} ln(1 + e^{-2x}) - frac{ln 2}{x} - 1} - 1]}{1/x} - lim_{x \to +\infty} frac{(1+1/x)^x - e}{1/x} = $
$ = e \cdot lim_{x \to +\infty} frac{e^{frac{1}{x} ln(1 + e^{-2x}) - frac{ln 2}{x}} - 1}{1/x} - e \cdot lim_{x \to +\infty} frac{e^{x ln(1+1/x) - 1} - 1}{1/x} = $
$ = e \cdot lim_{x \to +\infty} frac{e^{frac{1}{x}[ln(1 + e^{-2x}) - ln 2]} - 1}{1/x} - e \cdot lim_{x \to +\infty} frac{e^{x ln(1+1/x) - 1} - 1}{1/x} = $
$ = e \cdot lim_{x \to +\infty} [ln(1 + e^{-2x}) - ln 2] \cdot lim_{x \to +\infty} frac{e^{frac{1}{x}[ln(1 + e^{-2x}) - ln 2]} - 1}{1/x[ln(1 + e^{-2x}) - ln 2]} - $
$ - e \cdot lim_{x \to +\infty} [x^2 ln(1+1/x) - x] \cdot lim_{x \to +\infty} frac{e^{x ln(1+1/x) - 1} - 1}{1/x[x^2 ln(1+1/x) - x]} = $

$ = - e ln2 - e \cdot lim_{x \to +\infty} x^2[ln(1+1/x) - 1/x] \cdot lim_{x \to +\infty} frac{e^{x ln(1+1/x) - 1} - 1}{1/x[x^2 ln(1+1/x) - x]} = $
$ = - e ln 2 - e \cdot (- 1/2) \cdot 1 = e/2 - e ln 2 = $
$ = frac{e(1 - 2 ln 2)}{2} $

ove naturalmente per trovare il $(-1/2)$ è stato usato lo sviluppo in serie di Taylor della funzione $ ln(1 + 1/x) $

[ravanello2]

Grazie tantissimo pilloeffe!
A portare l'incognita al denominatore non ci sarei arrivato.

Mi consola il fatto che il limite non fosse così banale, richiedendo oltre alle proprietà del logaritmo anche un paio di trucchi algebrici.
Certo che risolvere i limiti è proprio un'arte......

Ancora grazie e buona giornata

[pilloeffe]

"ravanello":Grazie tantissimo pilloeffe!

Prego!

"ravanello":Mi consola il fatto che il limite non fosse così banale, richiedendo oltre alle proprietà del logaritmo anche un paio di trucchi algebrici.

No, in effetti così banale non era, almeno per me: ci ho messo un po' a venirne a capo...
Ecco perché

"ravanello": più di 60 accessi e nessuna risposta.....

"ravanello":Certo che risolvere i limiti è proprio un'arte......

Beh, se vogliamo un po' sì...

"ravanello":Ancora grazie e buona giornata

Buona giornata anche a te!