Grafico funzione fratta
Salve.
Ho un dubbio sul grafico probabile di questa funzione (probabile perché senza calcolo derivate).
$y= (x^3-4x^2)/(x^2-1)$
Il dubbio sta (visto e considerato che il prof è sempre sbadato), considerando che comunque la funzione ammette asintoto obliquo con equazione $y= x - 4$ il professore ha detto che la retta non si avvicina all'infinito all'asintoto obliquo visto che tocca il punto 4 (zero della funzione) e toccando l'asintoto (che non capisco dove lo tocchi, ma comunque) andrà all'infinito in un'altra direzione di cui non sapeva dire, dicendo: provateci voi!
Quest'immagine (generata con l'app Demos) dovrebbe essere a sostegno della mia affermazione, ovvero che va all'infinito verso l'asintoto come giusto che sia.
Questa è svolta da me sul quaderno:
Cosa intende il professore:
Morale della favola: come stanno esattamente le cose?
Grazie a tutti anticipatamente.
Ho un dubbio sul grafico probabile di questa funzione (probabile perché senza calcolo derivate).
$y= (x^3-4x^2)/(x^2-1)$
Il dubbio sta (visto e considerato che il prof è sempre sbadato), considerando che comunque la funzione ammette asintoto obliquo con equazione $y= x - 4$ il professore ha detto che la retta non si avvicina all'infinito all'asintoto obliquo visto che tocca il punto 4 (zero della funzione) e toccando l'asintoto (che non capisco dove lo tocchi, ma comunque) andrà all'infinito in un'altra direzione di cui non sapeva dire, dicendo: provateci voi!
Quest'immagine (generata con l'app Demos) dovrebbe essere a sostegno della mia affermazione, ovvero che va all'infinito verso l'asintoto come giusto che sia.
Questa è svolta da me sul quaderno:
Cosa intende il professore:
Morale della favola: come stanno esattamente le cose?
Grazie a tutti anticipatamente.
Risposte
Ciao Cosmologia,
La funzione
$y = f(x) = (x^3-4x^2)/(x^2-1) = frac{x^2(x-4)}{(x+1)(x - 1)} $
ha dominio $D = \RR - {-1, 1} = (-\infty, - 1) \cup (-1,1) \cup (1, +\infty) $ ed interseca l'asse delle ascisse $x$ nell'origine degli assi $O(0,0) $ e nel punto $A(4, 0)$. Dato che $x^2$ è sempre positivo se $x \ne 0 $, è molto semplice studiare la positività della funzione e si trova che $f(x) > 0 $ per $- 1< x < 0 \vv 0 < x < 1 \vv x > 4 $. La funzione presenta poi due asintoti verticali di equazione $x = - 1 $ e $x = 1$ ed un asintoto obliquo che è quello che hai già scritto, di equazione $y = x - 4 $. Dato che si è visto che la funzione proposta passa per il punto $A(4, 0)$, è chiaro che essa interseca il proprio asintoto obliquo andando poi all'infinito mantenendosi sopra l'asintoto stesso. Per convincertene facilmente, osserva che cosa accade ad esempio per $x = 5 > 4 $:
l'asintoto obliquo $ y = x - 4 $ per $x = 5 $ porge $y = 1$;
invece la funzione $f(x) $ per $x = 5$ porge $f(5) = frac{25}{24} > 1 $
Per convincertene definitivamente puoi anche calcolare la differenza $[f(x) - (x - 4)] $ e ti renderai conto facilmente che è sempre positiva per $- 1 < x < 1 \vv x > 4 $
La funzione
$y = f(x) = (x^3-4x^2)/(x^2-1) = frac{x^2(x-4)}{(x+1)(x - 1)} $
ha dominio $D = \RR - {-1, 1} = (-\infty, - 1) \cup (-1,1) \cup (1, +\infty) $ ed interseca l'asse delle ascisse $x$ nell'origine degli assi $O(0,0) $ e nel punto $A(4, 0)$. Dato che $x^2$ è sempre positivo se $x \ne 0 $, è molto semplice studiare la positività della funzione e si trova che $f(x) > 0 $ per $- 1< x < 0 \vv 0 < x < 1 \vv x > 4 $. La funzione presenta poi due asintoti verticali di equazione $x = - 1 $ e $x = 1$ ed un asintoto obliquo che è quello che hai già scritto, di equazione $y = x - 4 $. Dato che si è visto che la funzione proposta passa per il punto $A(4, 0)$, è chiaro che essa interseca il proprio asintoto obliquo andando poi all'infinito mantenendosi sopra l'asintoto stesso. Per convincertene facilmente, osserva che cosa accade ad esempio per $x = 5 > 4 $:
l'asintoto obliquo $ y = x - 4 $ per $x = 5 $ porge $y = 1$;
invece la funzione $f(x) $ per $x = 5$ porge $f(5) = frac{25}{24} > 1 $
Per convincertene definitivamente puoi anche calcolare la differenza $[f(x) - (x - 4)] $ e ti renderai conto facilmente che è sempre positiva per $- 1 < x < 1 \vv x > 4 $
"pilloeffe":
Ciao Cosmologia,
La funzione
$y = f(x) = (x^3-4x^2)/(x^2-1) = frac{x^2(x-4)}{(x+1)(x - 1)} $
ha dominio $D = \RR - {-1, 1} = (-\infty, - 1) \cup (-1,1) \cup (1, +\infty) $ ed interseca l'asse delle ascisse $x$ nell'origine degli assi $O(0,0) $ e nel punto $A(4, 0)$. Dato che $x^2$ è sempre positivo se $x \ne 0 $, è molto semplice studiare la positività della funzione e si trova che $f(x) > 0 $ per $- 1< x < 0 \vv 0 < x < 1 \vv x > 4 $. La funzione presenta poi due asintoti verticali di equazione $x = - 1 $ e $x = 1$ ed un asintoto obliquo che è quello che hai già scritto, di equazione $y = x - 4 $. Dato che si è visto che la funzione proposta passa per il punto $A(4, 0)$, è chiaro che essa interseca il proprio asintoto obliquo andando poi all'infinito mantenendosi sopra l'asintoto stesso. Per convincertene facilmente, osserva che cosa accade ad esempio per $x = 5 > 4 $:
l'asintoto obliquo $ y = x - 4 $ per $x = 5 $ porge $y = 1$;
invece la funzione $f(x) $ per $x = 5$ porge $f(5) = frac{25}{24} > 1 $
Per convincertene definitivamente puoi anche calcolare la differenza $[f(x) - (x - 4)] $ e ti renderai conto facilmente che è sempre positiva per $- 1 < x < 1 \vv x > 4 $
Quindi morale della favola come ho fatto io è corretto? O è come dice il prof?
"Cosmologia":
Quindi morale della favola come ho fatto io è corretto? O è come dice il prof?
Né come hai fatto tu, né come dice il prof: rileggiti bene il mio post...
Puoi vedere Il grafico corretto qui:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%5E3+-+4x%5E2)%2F(x%5E2+-+1)+%3D+x+-+4
Mmh qualcosa non mi quadra; perché io l'asintoto obliquo lo rappresento facendo la tabella x/y con le variabili. 1 punto: se x è 0 , y è - 4. 2 punto: se x è 1, y è -3. Quindi la rappresentazione dell'asintoto mi viene come nel foglio di cui ho allegato sopra. E' sbagliata questa rappresentazione???
Perché ancora non ho ben capito...
Perché ancora non ho ben capito...
"Cosmologia":
io l'asintoto obliquo lo rappresento facendo la tabella x/y con le variabili.
Beh sì, è il sistema più comodo: per una retta basta trovare due punti.
"Cosmologia":
1 punto: se x è 0 , y è - 4
"Cosmologia":
2 punto: se x è 1, y è -3
Aggiungiamo un terzo punto, che è lo stesso dal quale passa anche la funzione $f(x) $ proposta: $A(4, 0) $
"Cosmologia":
Quindi la rappresentazione dell'asintoto mi viene come nel foglio di cui ho allegato sopra. E' sbagliata questa rappresentazione???
No, è corretta la rappresentazione dell'asintoto, è errata invece la rappresentazione della funzione $f(x) $, che attraversa l'asintoto obliquo nel punto $A(4,0)$ e poi va verso l'infinito avvicinandosi sempre di più all'asintoto obliquo, ma da sopra di esso (non da sotto come nel foglio che hai allegato sopra), seppure di pochissimo. D'altronde, come ti ho scritto nel post precedente, si ha $[f(x) - (x - 4)] > 0 qquad \AA x > 4$ e
$lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x - 4)] = 0 $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo