Equazione numeri complessi
Buongiorno, ho problemi con i numeri complessi, in particolare con questo esercizio:
"Determinare per quali valori di k ∈ R l’insieme delle soluzioni della seguente equazione complessa
costituisce una circonferenza; per tali valori di k determinare il centro e il raggio delle corrispondenti
circonferenze.
$ z(z^**) + (1 + i5k)z + (1 + i(k^2 + 4))(z^**) = -1. $ "
Bene, io ho riportato questa equazione in funzione di x e di y, definendo $z=x+iy$ e $z^**=x-iy$, poi l'ho riscritta in una forma "più leggibile", cioè come una circonferenza:
$ x^2 + y^2 + x(ik^2 + 5ik - 2) + y(k^2 - 5k +4) = -1 $.
Ora i miei dubbi sono due:
- I centri delle circonferenze me li dovrei trovare grazie ai coefficienti di x e y, ma a cosa dovrei uguagliare quei polinomi in k di secondo grado?
- Avendo a destra dell'equazione un numero negativo, quel numero mi indica il quadrato del raggio, giusto? Quindi avrei un insieme di circonferenze di raggio i?
Grazie in anticipo
"Determinare per quali valori di k ∈ R l’insieme delle soluzioni della seguente equazione complessa
costituisce una circonferenza; per tali valori di k determinare il centro e il raggio delle corrispondenti
circonferenze.
$ z(z^**) + (1 + i5k)z + (1 + i(k^2 + 4))(z^**) = -1. $ "
Bene, io ho riportato questa equazione in funzione di x e di y, definendo $z=x+iy$ e $z^**=x-iy$, poi l'ho riscritta in una forma "più leggibile", cioè come una circonferenza:
$ x^2 + y^2 + x(ik^2 + 5ik - 2) + y(k^2 - 5k +4) = -1 $.
Ora i miei dubbi sono due:
- I centri delle circonferenze me li dovrei trovare grazie ai coefficienti di x e y, ma a cosa dovrei uguagliare quei polinomi in k di secondo grado?
- Avendo a destra dell'equazione un numero negativo, quel numero mi indica il quadrato del raggio, giusto? Quindi avrei un insieme di circonferenze di raggio i?
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao davidebaro,
Benvenuto sul forum!
Il secondo polinomio in $k$ non dà problemi, invece il primo per essere una circonferenza e dato che $\k in \RR $ deve essere un numero reale, e ciò accade se $k = 0$ o se $k = - 5 $
No, attento: questo accade se la circonferenza è scritta nella forma $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 $, ma non è il tuo caso perché tu invece l'hai scritta nella forma $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 $ per cui il raggio è dato da $r = sqrt{(a/2)^2 + (b/2)^2 - c} $
Benvenuto sul forum!
"davidebaro":
ma a cosa dovrei uguagliare quei polinomi in k di secondo grado?
Il secondo polinomio in $k$ non dà problemi, invece il primo per essere una circonferenza e dato che $\k in \RR $ deve essere un numero reale, e ciò accade se $k = 0$ o se $k = - 5 $
"davidebaro":
Avendo a destra dell'equazione un numero negativo, quel numero mi indica il quadrato del raggio, giusto? Quindi avrei un insieme di circonferenze di raggio i?
No, attento: questo accade se la circonferenza è scritta nella forma $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 $, ma non è il tuo caso perché tu invece l'hai scritta nella forma $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 $ per cui il raggio è dato da $r = sqrt{(a/2)^2 + (b/2)^2 - c} $
Grazie mille, sei stato chiaro ed esaustivo.
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