Dubbio natura punti critici di f(x) in 2 variabili

[9600xt]

salve ragazzi, ho un dubbio su un piccolo caso che non sono riuscito a trovare da nessuna parte, ne su libri, ne su wikipedia, o altro... se ho una funzione di 2 variabili e mi trovo dei punti stazionari, e mi è chiesto di trovarne anche la natura, di solito calcolo le
[size=150]
$f_(xx)
$f_(yy)
$f_(xy)
$f_(yx)[/size]
e costruisco la matrice hessiana, dopodichè in base al determinante ne capisco la natura. ma nel caso in cui il determinante fosse nullo (o la matrice sia nulla, anche questo non l'ho ben capito) la matrice non sa dirmi nulla, allora in questo caso come faccio a stabilire la natura del punto??? grazie mille..

[peppesmile]

nel caso il determinante della matrice hessiana sia zero la forma quadratica associata e semidefinita...per capire la natura del punto stazionario puoi fare due cose:
1)calcoli gli sutovalori della matrice hessiana. se il determinante è nullo ma gli elementi della diagonale principali non sono entrambi nulli troverai un autovalore nullo e un altro autovalore... se quest'ultimo è >0 la forma quadratica è semi definita positiva e hai un potenziale punto di minimo...viceversa se esso è negativo può essere un potenziale punto di massimo...
2) hai un ulteriore conferma se studi il segno della funzione e ti calcoli dove esso oscilla... spesso succede di avere una retta di punti stazionari oppure una retta di non derivabilità in cui puoi avere dei punti di estremo relativo...per vedere se essi soddisfano le condizioni di punto di massimo vedi dove si annulla la funzione e studi il segno...ti basta calcolarlo in un solo punto in quanto poiche non ci sono altri punti stazionari,la funzione cresce o decresce...spero di esser stato chiaro....se hai altri porblemi chiedi tranquillamente

[9600xt]

credo di aver capito, adesso non ho funzioni di quel tipo sottomano per poter provare a fare i calcoli e vedere se ho qualche problema (ci si accorge che una cosa non la si sa fare solo quando si prova a farla...), se dovessi avere problemi in futuro verrò a ricercare il post e magari chiederò nuovamente aiuto... per adesso grazie mille!!!

ho un altro dubbio su uno sviluppo in serie di McLaurin, di cui stavolta ho la funzione, faccio un altro post o "risparmiamo" memoria sul server e posto qui?? ditemi voi....

[piero_1]

@9600xt:
A beneficio di futuri navigatori eviterei di mischiare argomenti diversi e farei un post nuovo

[9600xt]

ragazzi ho ancora un dubbio, mi è capitata sotto mano questa funzione : $f(x)=xye^(x^2-2y^2)$ l'esercizio chiede di trovare gradiente e punti stazionari, fin qui credo di esserci ed aver trovato un punto critico in $P(0,0)$, poi chiede di "precisare la natura degli eventuali punti stazionari di $f$, senza calcolare la matrice Hessiana", il riquadro per svolgere questo punto è davvero piccolo, immagino sia facile e molto breve, ma non so come fare, io ho provato a pensare un po la funzione come potesse comportarsi sul piano, ed ho concluso che il segno della stessa dipende esclusivamente dal segno di $x*y$, da cui ho dedotto che per segni concordi la $z$ cioè la $f(x)$ sarà positiva, mentre per segni discordi sarà negativa, quindi per me il punto $P$ è una sella, ma non credo sia il ragionamento corretto, perchè ho saputo che altri che avevano scritto questa risposta nel compito si son trovati un bello 0 in quel punto..... chiedo aiuto..

[ViciousGoblin]

"9600xt":ragazzi ho ancora un dubbio, mi è capitata sotto mano questa funzione : $f(x)=xye^(x^2-2y^2)$ l'esercizio chiede di trovare gradiente e punti stazionari, fin qui credo di esserci ed aver trovato un punto critico in $P(0,0)$, poi chiede di "precisare la natura degli eventuali punti stazionari di $f$, senza calcolare la matrice Hessiana", il riquadro per svolgere questo punto è davvero piccolo, immagino sia facile e molto breve, ma non so come fare, io ho provato a pensare un po la funzione come potesse comportarsi sul piano, ed ho concluso che il segno della stessa dipende esclusivamente dal segno di $x*y$, da cui ho dedotto che per segni concordi la $z$ cioè la $f(x)$ sarà positiva, mentre per segni discordi sarà negativa, quindi per me il punto $P$ è una sella, ma non credo sia il ragionamento corretto, perchè ho saputo che altri che avevano scritto questa risposta nel compito si son trovati un bello 0 in quel punto..... chiedo aiuto..

Per me il tuo ragionamento e' corretto - una funzione che sia positiva sul primo e sul terzo quadrante e che sia negativa negli altri due ha una sella in zero.
Bisogna vedere pero' esattamente che definizione di sella e' stata data - potrebbe darsi che si tratti di una definizione piu' forte in cui si richiede che la matrice hessiana sia
indefinita, senza autovalori nulli (mentre in questo caso la matrice hessiana nell'origine mi pare nulla).

[9600xt]

boh, non so cosa dire... solo una cosa però, sei sicuro che la matrice hessiana in 0,0 sia nulla?? a me le derivate seconde miste vengono 1 nel punto 0,0... potresti controllare per favore. grazie.

[ViciousGoblin]

"9600xt":boh, non so cosa dire... solo una cosa però, sei sicuro che la matrice hessiana in 0,0 sia nulla?? a me le derivate seconde miste vengono 1 nel punto 0,0... potresti controllare per favore. grazie.

E' vero (avevo fatto i calcoli in fretta). Quindi l'Hessiano viene $((0,1),(1,0))$ - e allora hai ancora di piu' ragione di prima, l'origine e' una sella secondo ogni ragionevole definizione, visto che gli autovalori sono $\pm 1$

[9600xt]

ok, adesso i nostri risultati combaciano, per il resto speriamo che quando toccherà a me l'esame la risposta dei segni concordi e discordi per stabilire la natura dei punti stazionari senza la matrice hessiana basti al professore.... ti ringrazio per l'aiuto, ciao.