Integrali per sostituzione.
salve,
ho problemi con i seguenti integrali per sostituzione:
posto qui il mio procedimento.
spero possiate cortesemente darmi una mano nel procedere.
ecco il primo:
$\int x root(3)(2-x) dx$
Risultato: $-(9+6x)/(14)*(2-x)root(3)(2-x)+c$
pongo $2-x = t^3$
ricavo x $x=-t^3+2$
e differenzio
$dx = -3t^2*dt$
$\int (-t^3+2)t-3t^2dt =$
$-3\int (-t^3+2)t^3dt =$
e poi?
mentre l'altro integrale è:
$\int (sqrt(1-x^2))/(x^2)dx$
Risultato: $-1/x sqrt(1-x^2)-arcsinx+c$
ho posto: $x = sint$
differenzio: $dx=-cost*dt$
ottengo:
$\int (sqrt(1-sin^2t))/(sin^2t)-cost*dt$
come continuo?
mille grazie.
ho problemi con i seguenti integrali per sostituzione:
posto qui il mio procedimento.
spero possiate cortesemente darmi una mano nel procedere.
ecco il primo:
$\int x root(3)(2-x) dx$
Risultato: $-(9+6x)/(14)*(2-x)root(3)(2-x)+c$
pongo $2-x = t^3$
ricavo x $x=-t^3+2$
e differenzio
$dx = -3t^2*dt$
$\int (-t^3+2)t-3t^2dt =$
$-3\int (-t^3+2)t^3dt =$
e poi?
mentre l'altro integrale è:
$\int (sqrt(1-x^2))/(x^2)dx$
Risultato: $-1/x sqrt(1-x^2)-arcsinx+c$
ho posto: $x = sint$
differenzio: $dx=-cost*dt$
ottengo:
$\int (sqrt(1-sin^2t))/(sin^2t)-cost*dt$
come continuo?
mille grazie.
Risposte
"lapoalberto77":
$\int (-t^3+2)t(-3t^2)dt =$
$-3\int (-t^3+2)t^3dt =$
e poi?
Esegui la moltiplicazione e hai la somma di due integrali immediati
beh, il primo integrale basta che continui con la moltiplicazione e ti viene fuori un integrale immediato. Riguardo al secondo integrale, la sosituzione è giusta, ma $ \sqrt(1-sin^2(t))=cos(t) $ e poi la derivata di $sin(t)$ è $cos(t)$ ... poi il resto vien da sè ok?
incontro ancora difficoltà: vediamo un pò:
per la prima dovrei moltiplicare quindi dovrei ottenere forse questo:
$-3\int (-t^6+2t^3)dt$
$-3(\int -t^6 + 2\int t^3) dt$
ma non va bene....
per la seconda dovrebbe essere:
$\int (sqrt(1-sin^2(t)))/(sin^2(t))(cos(t)*dt)=$
$\int (cos(t))/(sin^2(t))*cos(t)*dt=$
$\int (cos^2(t))/(sin^2(t))*dt$
dove sbaglio?
mille grazie ancora.
per la prima dovrei moltiplicare quindi dovrei ottenere forse questo:
$-3\int (-t^6+2t^3)dt$
$-3(\int -t^6 + 2\int t^3) dt$
ma non va bene....
per la seconda dovrebbe essere:
$\int (sqrt(1-sin^2(t)))/(sin^2(t))(cos(t)*dt)=$
$\int (cos(t))/(sin^2(t))*cos(t)*dt=$
$\int (cos^2(t))/(sin^2(t))*dt$
dove sbaglio?
mille grazie ancora.
$\3/7t^7-6(t^4)/4
che diventa:
$\3/7(2-x)^(7/3)-6/4(2-x)^(4/3)=(2-x)^(4/3)(-(9+6x)/14)
che equivale al risultato che hai scritto tu
che diventa:
$\3/7(2-x)^(7/3)-6/4(2-x)^(4/3)=(2-x)^(4/3)(-(9+6x)/14)
che equivale al risultato che hai scritto tu
grazie.
mentre per l'altro integrale che avevo accennato prima nell'altro post?
intanto posto qui un altro integrale
con il mio procedimento, anche se incompleto.
Come si procede?
ecco l'integrale:
$\int (x)/(sqrt(4-x))dx$
ecco le posizioni fatte:
$4-x=t^2$
$x=-t^2+4$
$dx=-2t*dt$
ecco il procedimento ma incompleto:
$\int (-t^2+4)/(t)*(-2t*dt)$
$-2\int (-t^2+4)dt$
ma arrivato qui non riesco a procedere....
spero possiate per favore aiutarmi.
grazie ancora.
mentre per l'altro integrale che avevo accennato prima nell'altro post?
intanto posto qui un altro integrale
con il mio procedimento, anche se incompleto.
Come si procede?
ecco l'integrale:
$\int (x)/(sqrt(4-x))dx$
ecco le posizioni fatte:
$4-x=t^2$
$x=-t^2+4$
$dx=-2t*dt$
ecco il procedimento ma incompleto:
$\int (-t^2+4)/(t)*(-2t*dt)$
$-2\int (-t^2+4)dt$
ma arrivato qui non riesco a procedere....
spero possiate per favore aiutarmi.
grazie ancora.
"lapoalberto77":
$-2\int (-t^2+4)dt$
Questo è immediato..
Guarda qui
https://www.matematicamente.it/appunti/a ... 810174561/
si ma qual è? potrebbe essere quello con l'elevamento alla n+1??
@lapoalberto77
Allora hai ricavato in modo giusto l'integrale $ -2 \int(-t^2+4)dt $, che può essere scritto anche $ 2 \int t^2dt - 8 \int dt $ (proprietà degli integrali). Ora, sia il primo che il secondo sono integrali immediati (no?) quindi il gioco è fatto. Applica le regole base dell'integrazione e avrai il risultato
Allora hai ricavato in modo giusto l'integrale $ -2 \int(-t^2+4)dt $, che può essere scritto anche $ 2 \int t^2dt - 8 \int dt $ (proprietà degli integrali). Ora, sia il primo che il secondo sono integrali immediati (no?) quindi il gioco è fatto. Applica le regole base dell'integrazione e avrai il risultato
"lapoalberto77":
si ma qual è? potrebbe essere quello con l'elevamento alla n+1??
sisi
$\int (sqrt(1-sin^2(t)))/(sin^2(t))(cos(t)*dt)=$
$\int (cos(t))/(sin^2(t))*cos(t)*dt=$
$\int (cos^2(t))/(sin^2(t))*dt$
all'integrale di prima ho aggiunto i seguenti passaggi, penso giusti, ma ancora non arrivo alla conclusione....
$\int (1-sin^2(t))/(sin^2(t)) *dt=$
$\int (1)/(sen^2(t))*dt- \int (sin^2(t))/(sin^2(t))*dt$
$\int (1)/(sen^2(t))*dt- t + c$
"lapoalberto77":
$\int (1)/(sen^2(t))*dt- t + c$
E' un integrale immediato..
Questo ti dice niente?
http://it.wikipedia.org/wiki/Cotangente
è vero dovrei ottenere $-ctg(t)-t+c$
ma dalle posizioni fatte all'inizio come riesco a ricavare la $t$?
ma dalle posizioni fatte all'inizio come riesco a ricavare la $t$?
"lapoalberto77":
ho posto: $x = sint$
quindi sai che $t=arcsenx$, sostituiscilo nel risultato
qual è il procedimento tramite il quale da $x=sin(t)$ ottieni $t=arcsen(x)$?
E' la semplice definizione di arcoseno
l'arcoseno è la funzione inversa del seno di un angolo.
quindi $arcsin(t)=1/sin(t)$
ma come si arriva al $t=arcsin(x)$?
ulteriori indizi?
quindi $arcsin(t)=1/sin(t)$
ma come si arriva al $t=arcsin(x)$?
ulteriori indizi?
"lapoalberto77":
$arcsin(t)=1/sin(t)$
Assolutamente no, ti consiglio di andare a rileggere le funzioni inverse del seno e del coseno..
ok. quindi è questo
Dati $x,y \in RR$ diciamo che $y$ è l’arcoseno di $x$ se $x$ è il seno di $y$.
e cioè ad esempio:
$arcsin(1) = \pi/2 \<=> sen(\pi/2) = 1$
in generale:
$arcsin(x) = y \<=> sen(y) = x$
da qui:
$x=sin(t) \Rightarrow t=arcsin(x)$
Dati $x,y \in RR$ diciamo che $y$ è l’arcoseno di $x$ se $x$ è il seno di $y$.
e cioè ad esempio:
$arcsin(1) = \pi/2 \<=> sen(\pi/2) = 1$
in generale:
$arcsin(x) = y \<=> sen(y) = x$
da qui:
$x=sin(t) \Rightarrow t=arcsin(x)$
Solo una correzione, siccome stiamo parlando di funzioni inverse, dobbiamo avere a che fare con delle funzioni biettive.
Il seno essendo una funzione periodica non è biettiva.
Il trucco è di restringere il dominio all'intervallo $[-pi/2;pi/2]$ (quindi non è $y inR$).
Per il resto hai capito perfettamente!
-Editato dopo l'intervento di Mathematico
Il seno essendo una funzione periodica non è biettiva.
Il trucco è di restringere il dominio all'intervallo $[-pi/2;pi/2]$ (quindi non è $y inR$).
Per il resto hai capito perfettamente!
-Editato dopo l'intervento di Mathematico
Scusami Leena, ma $x\in [-1,1]$ perchè argomento del arcoseno, mentre $y\in[-\pi/2, \pi/2]$ queso per rendere la funzione $sin(y)$ bigettiva. Mi auguro che il mio intervento non confonda le idee a lapoalberto77 
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