Aiuto problema di Cauchy

[lolopo1]

Ciao
Dovrei risolvere questo problema di Cauchy

$ { ( y'(t)=sinty(t)-3e^(-cost) ),(yPi /2=Pi ):} $

Credo che occorra metodo delle somiglianze

Qualcuno potrebbe aiutarmi gentilmente ?

[pilloeffe]

Ciao lolopo,

Magari mi sbaglio, ma secondo me l'hai scritto male ed in realtà il PdC proposto è il seguente:

${(y'(t) = y(t) sint - 3e^(-cos t) ),(y(\pi/2) = \pi ):} $

L'equazione differenziale è del primo ordine lineare abbastanza standard avente la soluzione seguente:

$y(t) = e^{-cos t}(c - 3t) $

Poi si ha $\pi = y(\pi/2) = e^{0}(c - 3\pi/2) = c - 3\pi/2 \implies c = (5\pi)/2 $
Pertanto la soluzione del PdC proposto è la seguente:

$y(t) = e^{-cos t}((5\pi)/2 - 3t) $

[lolopo1]

grazie per l aiuto intanto

cmq il docente me l ha scritta proprio cosi $sin t y(t)-3e^(-cost)$

non so se sia stessa cosa

[pilloeffe]

"lolopo":grazie per l'aiuto intanto

Prego.

"lolopo":non so se sia stessa cosa

Diciamo che come l'hai scritta all'inizio potrebbe essere interpretata nel senso $ sin[t y(t)] $, cosa che non credo fosse nelle intenzioni del tuo docente...

[lolopo1]

scusa il disturbo che ti sto dando
ma mi faresti capire meglio i passaggi dell equazione differenziale del primo ordine ?
Avrai utilzzato il metodo del fattore integrante
Quindi cfredo che avrai integrato sint che dovrebbe dare sintx

Ma forse sto dicendo una cavolata

[pilloeffe]

"lolopo":Avrai utilzzato il metodo del fattore integrante

Beh sì, in pratica poi ho scritto l'equazione differenziale nella forma seguente:

$y'(t) + a(t)y(t) = b(t) $

ove nel caso in esame $ a(t) := - sint $ e $ b(t) := - 3 e^{-cost} $ che notoriamente ha per soluzione

$ y(t) = e^{-A(t)}[c + \int b(t) e^{A(t)}\text{d}t] $

ove $A(t) = \int a(t) \text{d}t $ che nel caso in esame diventa $A(t) = \int -sint \text{d}t = cost $
Poi nel caso in esame si ha:

$ \int b(t) e^{A(t)}\text{d}t = \int -3 e^{-cost} e^{cost}\text{d}t = - 3\int \text{d}t = - 3t $

Ecco perché si ottiene la soluzione che ho già scritto nel mio primo post.

[lolopo1]

Grazie mille per la spigazione molta chiara che mi hai dato

Potresti gentilmente aiutarmi anche in questa ?
Molto piu complessa per me almeno

$ Y''-3y'=sinx+cosx $

Credo sia di secondo grado non omogenea

Quindi prima mi sono calcolato l equazione caratteristica , ricavando

$ y1(x)=c1+c2e^(3x) $

POi sto provando a calcolare la soluzione particolare

Dove p(x)=sinx+cosx e $ beta =1 $

Visto che 1 non è soluzione dell equazione caratteristica, la soluzione particolare è

$ y2(x)=x(Asinx+Bcosx) $

Ma non so se sto procedendo bene

[pilloeffe]

"lolopo":Grazie mille per la spiegazione molto chiara che mi hai dato

Prego!

"lolopo":Potresti gentilmente aiutarmi anche in questa ?

Certamente. La soluzione dell'omogenea associata mi torna:

$y_o(x) = c_1 + c_2 e^{3x} $

Invece non mi torna la soluzione particolare, c'è una $x $ di troppo:

$y_p(x) = A sinx + Bcosx $

Dopo un po' di conti dovresti trovare $A = -2/5 $ e $ B = 1/5 $

[lolopo1]

$ yp(x)=Asinx+Bcosx $

Dopo questo passaggio devo ottenere da derivata prima e la derivata seconda ?

Y'= Acosx+-Bsinx

Y''=-Asinx-Bcosx

O sbaglio ?

[pilloeffe]

Sì, adesso devi sostituirli nell'equazione differenziale iniziale: troverai un sistema di due equazioni nelle due incognite $A $ e $ B $ che risolto ti consentirà di determinare i valori di $ A $ e di $ B $

[lolopo1]

Mi impiccio nella sostituzione perchè mi trovo

-Asinx-Bcosx+3Acosx-3Bsinx=sinx+cosx

Non riesco a capire come semplificare , visto ad esempio dove c e la A sta da una parte sin e dall altra cos e cosi anche per la B
O ho sbagliato qualcosa o semplicemente mi impappino

[pilloeffe]

Innanzitutto scriviamo per bene usando il simbolo di dollaro per le formule:

$ y_p(x) = A sinx + Bcosx \implies y'_p(x) = Acosx - Bsinx \implies y''_p(x) = -Asinx - Bcosx $

Per cui sostituendo si ha:

$ -Asinx - Bcosx -3(Acosx - Bsin x) = sinx + cosx $

$(3B - A)sinx + (-3A - B)cosx = sinx + cosx $

Da cui si ricava il sistema seguente:

$ \{(3B - A = 1),(- 3A - B = 1):}$

Dalla prima equazione si ricava $A = 3B - 1 $ che sostituita nella seconda porge $ - 9B + 3 - B = 1 \implies - 10B = - 2 \implies B = 1/5 \implies A = 3/5 - 1 = 3/5 - 5/5 = - 2/5 $

[lolopo1]

ok perfetto , ora ho capito come avrei dovuto procedere

Grazie mille per l aiuto e la chiarezza con la quale mi hai esposto i vari passaggi

Veramente molto gentile e disponibile nell aiutarmi