Determinare l'ordine di funzioni

[Davide7998]

Ciao, sarà più di una settimana che mi sbatto su questo esercizio. Date delle funzioni, devo disporle in ordine crescente di infinitesimo per $x \rightarrow +\infty$. Le funzioni:

L'approcio risolutivo che ho usato è simile a quello che ho visto negli esercizi d'esempio, utilizzare le stime asintotiche per portare la funzione ad una forma $f(x) ∼ \frac{C}{x^(\alpha)}$, dove $C$ è una qualsiasi costante.
La prima e la quarta funzione sono riuscito ad affrontarle perché appunto mi son bastate solo le stime asintotiche e ho ottenuto rispettivamente $\frac{3}{2}$ e $1$. Per la seconda e la terza ho effettuato un cambio di variabile, sostituendo con $t = 1/x$. L'idea era quella di ottenere una stima asintotica notevole, però sono arrivato in entrambi gli esercizi a risultati che mi lasciano un po' perplesso.


Apprezzo ogni delucidazione sull'argomento anche perché ho consultato altri due eserciziari e non so più come procedere.

[pilloeffe]

Ciao Davide7998 ,

Beh, così a naso si vede subito che la prima è $f_5 = \pi - 2arctanx = 2arctan(1/x) $[tex]\sim[/tex] $ 2/x $ per $x \to +infty $, mentre l'ultima è $f_7 $

[Davide7998]

Ringrazio per la risposta.
Voglio partire con la prima funzione che mi hai mostrato: non ho capito l'uguaglianza tra le due forme.

[pilloeffe]

"Davide7998":Ringrazio per la risposta.

Prego.

"Davide7998":Voglio partire con la prima funzione che mi hai mostrato: non ho capito l'uguaglianza tra le due forme.

Si tratta della solita formula che ricorre spesso in questo forum:

$arctanx + arctan(1/x) = \pi/2 \implies \pi - 2 arctanx = 2 arctan(1/x) $