Equazione differenziale lineare di primo ordine

[marioCresp]

Ciao a tutti, per studiare il comportamento di un circuito elettrico devo risolvere questa equazione differenziale:

$("d" (VC))/("d"t) = -((R2+R1)/(C*R1*R2))*VC + (J*R2+E)/(C*R2)$

Ho provato ha risolverla applicando la formula risolutiva:
$y(x)=e^(A(x)) * int (b(x) * e^(-A(x))) " d"x$

$A(x)=int a(x)dx=int -(R2+R1)/(C*R1*R2)" d" x = -(R2+R1)/(C*R1*R2)*x$
quindi:
$y(x)=e^(-(R2+R1)/(C*R1*R2)*x) * int ((J*R2+E)/(C*R2) * e^((R2+R1)/(C*R1*R2)*x) )" d"x$
da cui:
$y(x)=e^(-(R2+R1)/(C*R1*R2)*x) * ((J*R2+E)/(C*R2) * (C*R1*R2)/(R2+R1) e^((R2+R1)/(C*R1*R2)*x)+c) $

Ovviamente non é corretta. Il procedimento dovrebbe portare come risultato : $K*e^(-x/gamma)$
con $gamma = (C*R1*R2)/(R2+R1)$

Sarei grato a chiunque mi possa aiutare a capire i gravi errori che faccio. Grazie!

[gugo82]

Nessun errore, mi pare...

Guarda bene la tua soluzione: chi è il tuo $gamma$? Ed il tuo $K$?


P.S.: Un piccolo errore c'è: la variabile indipendente è $t$, non $x$, e la variabile dipendente è $V$, non $y$.

[marioCresp]

Grazie dei suggerimenti! Qundi avró:

$A(t)=int a(t)dt=int -(R2-R1)/(C*R1*R2)" d" t = -(R2-R1)/(C*R1*R2)*t$
da cui:
$V(t)=e^(-(R2-R1)/(C*R1*R2)*t) * int ((J*R2+E)/(C*R2) * e^((R2+R1)/(C*R1*R2)*t) )" d"t$
ottenendo:
$v(t)=e^(-(R2-R1)/(C*R1*R2)*t) * ((J*R2+E)/(C*R2) * (C*R1*R2)/(R2+R1) e^((R2+R1)/(C*R1*R2)*t)+c) $

non riesco peró a semplificare i calcoli per arrivare al risultato:

$v(t)=K*e^(((-R1-R2)/(c*R1*R2))*t)$

con k indichiamo il valore del $+c$ che otteniamo dall'integrale.

come posso raggiungere quindi tale soluzione?

[pilloeffe]

Ciao marioCresp,

Secondo me l'equazione l'hai scritta davvero male, perché dimensionalmente la faccenda non torna e ritengo tu stia cercando l'espressione della tensione $V_C(t) $ ai capi del condensatore $C $, per cui mi sa che l'equazione differenziale corretta è la seguente:

$ V'_C(t) = - \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2 C} V_C(t) + \frac{E + R_2 J}{R_2 C} $

Dato che come certamente saprai $ [RC] = sec $ ecco che dimensionalmente le cose tornano e ponendo per pura comodità $\gamma := (R_1R_2 C)/(R_1+R_2) $ (sicché $[\gamma] = sec $) e $\epsilon := \frac{E + R_2 J}{R_2 C} $ ($[\epsilon ] = V/sec $) l'equazione differenziale proposta diventa semplicemente la seguente:

$ V'_C(t) = - \frac{V_C(t)}{\gamma} + \epsilon $