Quesito sulla continuità delle funzioni in due variabili
Buongiorno a tutti.
Avrei bisogno una mano perchè tra qualche giorno ho l'esame di Analisi 2 e non riesco a rispondere al seguente quesito:
Per una funzione f: R^2 \ {0,0} --> R, stabilire quale/quali delle seguenti proprietà garantiscono che f(x,y) tenda a 0 per (x,y) tendente a 0 in R^2 \ {0,0}:
a) ogni retta r passante per l'origine è asse di qualche cono non banale (cioè con interno non vuoto) tale che f(x,y) tenda a 0 per (x,y) tendente a 0 nell'interno del cono
b) f è continua, ogni retta r passante per l'origine diversa dall'asse y è asse di qualche cono non banale tale che f(x,y) tenda a 0 per (x,y) tendente a 0 nell'interno del cono e si ha f(0,y) --> 0 per y --> 0
Qualcuno saprebbe aiutarmi?
Grazie mille
Avrei bisogno una mano perchè tra qualche giorno ho l'esame di Analisi 2 e non riesco a rispondere al seguente quesito:
Per una funzione f: R^2 \ {0,0} --> R, stabilire quale/quali delle seguenti proprietà garantiscono che f(x,y) tenda a 0 per (x,y) tendente a 0 in R^2 \ {0,0}:
a) ogni retta r passante per l'origine è asse di qualche cono non banale (cioè con interno non vuoto) tale che f(x,y) tenda a 0 per (x,y) tendente a 0 nell'interno del cono
b) f è continua, ogni retta r passante per l'origine diversa dall'asse y è asse di qualche cono non banale tale che f(x,y) tenda a 0 per (x,y) tendente a 0 nell'interno del cono e si ha f(0,y) --> 0 per y --> 0
Qualcuno saprebbe aiutarmi?
Grazie mille
Risposte
Per caso qualcuno ha qualche idea o suggerimento?
Non è facilissimo. Credo proprio che a) implichi che \(f(x, y)\to 0 \) ma b) no. Il motivo di questo è che la circonferenza unitaria è compatta, ma la circonferenza privata di un punto non lo è. C'è da lavorarci un po' su, però.
Grazie per la dritta.
Motiverei in questo modo:
A) la proprietà garantisce che f(x, y)-> 0 per (x, y) -->0 poiché, considerando i coni come una delle famiglie di insiemi aperti numerabili la cui unione contiene una sfera di raggio r (con r minore dell'altezza della famiglia dei coni), é possibile estrarre una sottofamiglia di coni con un numero finito di elementi che racchiuda la medesima sfera. Pertanto tale sfera é un insieme compatto, pertanto chiuso e limitato.
B) in tal caso si intende una famiglia di coni ai quali é sottratto il cono con asse x=0, pertanto decade la compattezza della sfera. Esisterà infatti un Cino infinitesimo di asse x=0 all'interno del quale (ad eccezione dell'asse) i punti (x, y) non tenderanno a 0.
Credo sia come se ci fosse una cuspide nel piano xy.
Potrebbe andare come spiegazione oppure no?
Grazie
Motiverei in questo modo:
A) la proprietà garantisce che f(x, y)-> 0 per (x, y) -->0 poiché, considerando i coni come una delle famiglie di insiemi aperti numerabili la cui unione contiene una sfera di raggio r (con r minore dell'altezza della famiglia dei coni), é possibile estrarre una sottofamiglia di coni con un numero finito di elementi che racchiuda la medesima sfera. Pertanto tale sfera é un insieme compatto, pertanto chiuso e limitato.
B) in tal caso si intende una famiglia di coni ai quali é sottratto il cono con asse x=0, pertanto decade la compattezza della sfera. Esisterà infatti un Cino infinitesimo di asse x=0 all'interno del quale (ad eccezione dell'asse) i punti (x, y) non tenderanno a 0.
Credo sia come se ci fosse una cuspide nel piano xy.
Potrebbe andare come spiegazione oppure no?
Grazie
Ma no, assolutamente no. Quello che hai scritto è privo di senso. Magari, in fondo, qualche idea si può recuperare, ma devi scrivere meglio
USA le coordinate polari.
USA le coordinate polari.
Ok. Nel senso che devo ragionare sulla compattezza della circonferenza unitaria e non sulla sfera? Devo ragionare sul piano xy e dimostrare perché la circonferenza privata dell'asse y non é più compatta?
É per farlo mi conviene usare le coordinate polari partendo da una circonferenza ipotetica di raggio 1?
Scusa ma faccio fatica
É per farlo mi conviene usare le coordinate polari partendo da una circonferenza ipotetica di raggio 1?
Scusa ma faccio fatica
Si, si, lo so, è un esercizio non standard questo qua, io poi sono in viaggio da stamattina e sto rispondendo un po' a spizzichi e bocconi, da cellulare. Spero di trovare un po' di tempo per rispondere nei prossimi giorni, se vedi che me ne sono dimenticato manda un "up".
Ok, grazie. Io ho l'esame martedì 16 mattina. Spero tu riesca ad illuminarmi prima 
Nel frattempo provo a dimostrarlo con le coordinate polari.
Nel frattempo provo a dimostrarlo con le coordinate polari.
Ciao! Io con le coordinate polari non ci sono riuscito. Per caso hai anche solo uno spunto di inizio sul quale posso lavorare?
Grazie
Grazie
Scrivi \(f\) in coordinate polari, cosicché \(f\) è una funzione di \(r\ge 0\) e \(\theta\in [0, 2\pi]\). Ricordati che
\[
\lim_{(x, y)\to(0,0)} f=0\quad \iff \quad f(r, \theta)\to 0\ \text{per }r\to 0\text{, uniformemente risp. }\theta.\]
Quindi, il punto a) ci dice che, per ogni \(\theta_0\in[0, 2\pi]\) esiste un intorno \(I_{\theta_0}\) tale che \( f(r, \theta)\to 0\) uniformemente per \(\theta\in I_{\theta_0}\). Ora, \([0, 2\pi]\) è un insieme compatto, e tali intorni lo ricoprono. Dalla definizione di insieme compatto, \([0, 2\pi]\) ammette un sottoricoprimento finito di tali intorni \(I_{\theta_0}\), e da qui discende facilmente che \(f(r, \theta)\to 0\) uniformemente rispetto a \(\theta\) su TUTTO \([0, 2\pi]\).
Questa dimostrazione non si applica al punto b, come intuivi, perché \([0, 2\pi]\setminus \{\pi/2\}\) NON è compatto. Sono sicuro che tale punto non sia vero, ma non è facile trovare un controesempio.
\[
\lim_{(x, y)\to(0,0)} f=0\quad \iff \quad f(r, \theta)\to 0\ \text{per }r\to 0\text{, uniformemente risp. }\theta.\]
Quindi, il punto a) ci dice che, per ogni \(\theta_0\in[0, 2\pi]\) esiste un intorno \(I_{\theta_0}\) tale che \( f(r, \theta)\to 0\) uniformemente per \(\theta\in I_{\theta_0}\). Ora, \([0, 2\pi]\) è un insieme compatto, e tali intorni lo ricoprono. Dalla definizione di insieme compatto, \([0, 2\pi]\) ammette un sottoricoprimento finito di tali intorni \(I_{\theta_0}\), e da qui discende facilmente che \(f(r, \theta)\to 0\) uniformemente rispetto a \(\theta\) su TUTTO \([0, 2\pi]\).
Questa dimostrazione non si applica al punto b, come intuivi, perché \([0, 2\pi]\setminus \{\pi/2\}\) NON è compatto. Sono sicuro che tale punto non sia vero, ma non è facile trovare un controesempio.
Secondo me questo può essere un controesempio:
\[
f(x, y)=\begin{cases} \frac{ (y^2-x)^2}{y^4+x^2}-1, & (x, y)\ne(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0).\end{cases}\]
Questa funzione, presa da questo post di Math.SE, non è continua, perché \(\lim_{(x, y)\to (0,0)} f(x, y)\) non esiste, ma mi pare che verifichi la condizione dei coni, perché se la scrivi in coordinate polari ottieni
\[
\frac{(r\sin^2\theta -\cos \theta)^2}{r^2\sin^4\theta +\cos^2\theta} -1, \]
e per ogni \(\theta\ne 0, \pi/2, \pi, \frac32\pi, \ldots\) non si annullano né il seno né il coseno, quindi sicuramente esiste un piccolo intorno di \(\theta\) su cui il limite per \(r\to 0\) esiste uniformemente rispetto a \(\theta\). Ma nei punti critici \(\theta=0, \pi/2, \ldots\), anche se il limite per \(r\to 0\) comunque esiste ed è uguale a 0, non esiste nessun intorno su cui tale limite esista uniformemente in \(\theta\).
\[
f(x, y)=\begin{cases} \frac{ (y^2-x)^2}{y^4+x^2}-1, & (x, y)\ne(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0).\end{cases}\]
Questa funzione, presa da questo post di Math.SE, non è continua, perché \(\lim_{(x, y)\to (0,0)} f(x, y)\) non esiste, ma mi pare che verifichi la condizione dei coni, perché se la scrivi in coordinate polari ottieni
\[
\frac{(r\sin^2\theta -\cos \theta)^2}{r^2\sin^4\theta +\cos^2\theta} -1, \]
e per ogni \(\theta\ne 0, \pi/2, \pi, \frac32\pi, \ldots\) non si annullano né il seno né il coseno, quindi sicuramente esiste un piccolo intorno di \(\theta\) su cui il limite per \(r\to 0\) esiste uniformemente rispetto a \(\theta\). Ma nei punti critici \(\theta=0, \pi/2, \ldots\), anche se il limite per \(r\to 0\) comunque esiste ed è uguale a 0, non esiste nessun intorno su cui tale limite esista uniformemente in \(\theta\).
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