Teorema funzioni implicite e/o inversione locale

[Studente Anonimo]

Dimostra che il sistema
\[ \left\{\begin{matrix}
x+\sin(xy)=\epsilon\\
\cos(xy) + y = 1 + \epsilon
\end{matrix}\right. \]
ammette un unica soluzione in un intorno di \( (0,0) \) per \( \epsilon \) sufficientemente piccolo.

Allora io ho fatto così
Definisco \( f(x,y) : =\begin{pmatrix}
x+\sin(xy)\\
\cos(xy) + y
\end{pmatrix} \) e notiamo che \( f \in C^1 \), e valutata in \( (0,0) \) abbiamo \( f(0,0)=(0,1) \) e che \( Df(x,y) =\begin{pmatrix}
1+y \cos(xy) & x \cos(xy) \\
-y \sin(xy) & - x \sin(xy)+1
\end{pmatrix} \)
e abbiamo che \( \det(Df(0,0) ) \neq 0 \) dunque localmente inversibile ed possiamo applicare il teorema di inversione locale e avere che esiste un intorno \( U \) di \( (0,0) \) e un intorno \( V \) di \( (0,1) \) tale che \( f: U \rightarrow V \) è un diffeomorfismo, dunque invertibile, e in particolare biietiva dunque per \( \epsilon \) sufficientemente piccolo \( (\epsilon, 1+\epsilon ) \in V \) e pertanto esiste un unico punto \( ( x^*,y^*) \in U \) tale che \( f(x^*,y^*) = ( \epsilon, 1 + \epsilon) \)


Le soluzioni dicono la stessa cosa ma invece di dire che applica il teorema di inversione locale dice che applica il teorema delle funzioni implicite. È un errore? Non vedo a cosa possa serivire il teorema delle funzioni implicite ed inoltre le ipotesi non sono nemmeno soddisfatte in quanto \( f(0,0) \neq (0,0) \)

[dissonance]

In fondo, quei due teoremi sono la stessa cosa; dato uno, facilmente si dimostra l'altro. Comunque, hai ragione tu.

[Studente Anonimo]

Grazie.