Differenziali in fisica
Mi piacerebbe scrivere ancora riguardo il differenziale (e forme differenziali). Ne ho discusso recentemente con dissonance.
Il tutto in realtà nasce perché spesso mi trovo a passare dal formalismo dell'analisi a sfruttare i differenziali come veri e propri "cambiamenti infinitesimi" di qualcosa. Tuttavia spesso, seppur sfruttandoli, non mi è del tutto chiaro cosa io stia facendo davvero. Preso da questo raptus di follia di incomprensione ho letto varie dispense questa estate e alcuni parti di testi matematici scoprendo che si introducono (a cavallo tra analisi e la geometria) le forme differenziali e che il differenziale altri non è se non una forma differenziale esatta. La forma differenziale è un trabiccolo capace di associare ad ogni punto un vettore dello spazio duale (ossia questo vettore duale ha la proprietà di prendere un vettore e mandarlo nel suo campo scalare).
Ho approfondito davvero molto nei mesi estivi, purtuttavia io tutt'ora non capisco cosa diamine stia facendo nel prendere pezzi piccoli di materia e trasformarli magicamente in funzioni e a loro volta linearizzarli (perché alla fine il differenziale in analisi altri non è che la parte lineare della serie di Taylor -almeno in una variabile-). Ma perché questa linearizzazione della funzione in un piccolo intorno coincide con il funzionale linare? Perché la variazione di materia infinitesima (es il caro spostamento di un ds o una piccola parte di massa dm) è una funzione dal duale di un campo vettoriale a uno scalare? Quale è il campo vettoriale della massa e il suo duale dacui discende il differenziale dm? Insomma, ho davvero capito alcuni concetti, ma come portarli al caso della fisica non riesco ancora a giustificarlo, qualcuno avrebbe piacere a discuterne?
Partiamo con un esempio concreto:
$ds=v*dt$
stando a quanto ho capito riguardo le forme differenziali essendo $dt$ la base del duale dello spazio velocità allora v è proprio la componente del vettore velocità in tale spazio. Ora dato il segno di uguaglianza l'equazione di cui sopra dovrebbe esprimere una uguaglianza tra due forme differenziali, in particolare (se non erro) è un pull-back sullo spazio duale di "S". Ora dovrei dedurre che il vettore velocità in tal caso ha per componente 1, essendo ilcoefficiente di ds (base del duale) proprio 1?
Mi piacerebbe chiarire queste cose, ma noto che è difficile trovare qualcosa a riguardo.
Sempre un grande grazie a chi mi aiuterà
PS: se la sezione più corretta fosse geometria o fisica vi chiedo gentilmente di scusarmi e spostarla nella più consona
Il tutto in realtà nasce perché spesso mi trovo a passare dal formalismo dell'analisi a sfruttare i differenziali come veri e propri "cambiamenti infinitesimi" di qualcosa. Tuttavia spesso, seppur sfruttandoli, non mi è del tutto chiaro cosa io stia facendo davvero. Preso da questo raptus di follia di incomprensione ho letto varie dispense questa estate e alcuni parti di testi matematici scoprendo che si introducono (a cavallo tra analisi e la geometria) le forme differenziali e che il differenziale altri non è se non una forma differenziale esatta. La forma differenziale è un trabiccolo capace di associare ad ogni punto un vettore dello spazio duale (ossia questo vettore duale ha la proprietà di prendere un vettore e mandarlo nel suo campo scalare).
Ho approfondito davvero molto nei mesi estivi, purtuttavia io tutt'ora non capisco cosa diamine stia facendo nel prendere pezzi piccoli di materia e trasformarli magicamente in funzioni e a loro volta linearizzarli (perché alla fine il differenziale in analisi altri non è che la parte lineare della serie di Taylor -almeno in una variabile-). Ma perché questa linearizzazione della funzione in un piccolo intorno coincide con il funzionale linare? Perché la variazione di materia infinitesima (es il caro spostamento di un ds o una piccola parte di massa dm) è una funzione dal duale di un campo vettoriale a uno scalare? Quale è il campo vettoriale della massa e il suo duale dacui discende il differenziale dm? Insomma, ho davvero capito alcuni concetti, ma come portarli al caso della fisica non riesco ancora a giustificarlo, qualcuno avrebbe piacere a discuterne?
Partiamo con un esempio concreto:
$ds=v*dt$
stando a quanto ho capito riguardo le forme differenziali essendo $dt$ la base del duale dello spazio velocità allora v è proprio la componente del vettore velocità in tale spazio. Ora dato il segno di uguaglianza l'equazione di cui sopra dovrebbe esprimere una uguaglianza tra due forme differenziali, in particolare (se non erro) è un pull-back sullo spazio duale di "S". Ora dovrei dedurre che il vettore velocità in tal caso ha per componente 1, essendo ilcoefficiente di ds (base del duale) proprio 1?
Mi piacerebbe chiarire queste cose, ma noto che è difficile trovare qualcosa a riguardo.
Sempre un grande grazie a chi mi aiuterà
PS: se la sezione più corretta fosse geometria o fisica vi chiedo gentilmente di scusarmi e spostarla nella più consona
Risposte
È un discorso super spinoso e che emerge periodicamente. La conclusione è che ognuno deve passare per una lunga serie di frustranti riflessioni in autonomia prima di sentirsi a proprio agio in queste cose.
Inoltre, di solito le discussioni su questo argomento finiscono con litigate.
[ot]Ho sempre pensato che questo fosse un male. Però, proprio di recente un caro amico mi faceva osservare che nel mondo della fisica le bestiali litigate sono molto più comuni che nella matematica, e che secondo lui questo non è necessariamente un fatto negativo. Forse anche su questo argomento di base vale lo stesso discorso.[/ot]
Inoltre, di solito le discussioni su questo argomento finiscono con litigate.
[ot]Ho sempre pensato che questo fosse un male. Però, proprio di recente un caro amico mi faceva osservare che nel mondo della fisica le bestiali litigate sono molto più comuni che nella matematica, e che secondo lui questo non è necessariamente un fatto negativo. Forse anche su questo argomento di base vale lo stesso discorso.[/ot]
Ciao dissonance e buona serata a te!
Come indichi tu ci sono diverse discussioni e le ho lette per benino nella mia torrida estate di dubbi lol. Ho anche sorriso leggendo alcune sfuriate tra fazioni ingegneristiche vs matematiche: ma io sono un aspirante fisico e come tale mi trovo come naturale anello di congiunzione nonché tra i due fuochi
.
Tuttavia non ho trovato, con la funzione cerca, nessuno che trattasse a livello di geometria differenziale ma solo con concetti di analisi 1 o giù di lì. Insomma non ho mai letto di pullback ecc, per questo ho deciso di aprire una discussione sull'argomento
Come indichi tu ci sono diverse discussioni e le ho lette per benino nella mia torrida estate di dubbi lol. Ho anche sorriso leggendo alcune sfuriate tra fazioni ingegneristiche vs matematiche: ma io sono un aspirante fisico e come tale mi trovo come naturale anello di congiunzione nonché tra i due fuochi
.Tuttavia non ho trovato, con la funzione cerca, nessuno che trattasse a livello di geometria differenziale ma solo con concetti di analisi 1 o giù di lì. Insomma non ho mai letto di pullback ecc, per questo ho deciso di aprire una discussione sull'argomento
Ciampax mi consigliò anni fa il libro di Itskov: "Tensor algebra and tensor analysis for engineers". A un livello più avanzato c'è Frankel, "The geometry of physics". Prova a dare uno sguardo.
Grazie per il consiglio!
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