Forma differenziale
Ciao ragazzi,
vorrei chiedere un aiuto per capire le forme differenziali chise ed esatte. Mi pare di aver capito abbasanza bene il caso in più variabili ma per assurdo non mi è molto chiaro il semlice caso di UNA variabile.
Riguardo all'esattezza mi sono risposto che per l'esistenza di una primitiva alla fine dei conti esisterà sempre una funzione "potenziale", quindi una forma differenziale a una variabile è sepre esatta. Ne discende per implicazione che è anche sempre chiusa.
Il punto diventa questo: se è chiusa dovrebbero coincidere le derivate parziali miste, ma ovviamente ne esiste solo una, quindi cosa dovrei dire? Che la derivata coincide con se stessa ergo è chiusa?
Mi fa sorridere, ma non capisco se sia il modo giusto di rispondere al mio quesito
Grazie
vorrei chiedere un aiuto per capire le forme differenziali chise ed esatte. Mi pare di aver capito abbasanza bene il caso in più variabili ma per assurdo non mi è molto chiaro il semlice caso di UNA variabile.
Riguardo all'esattezza mi sono risposto che per l'esistenza di una primitiva alla fine dei conti esisterà sempre una funzione "potenziale", quindi una forma differenziale a una variabile è sepre esatta. Ne discende per implicazione che è anche sempre chiusa.
Il punto diventa questo: se è chiusa dovrebbero coincidere le derivate parziali miste, ma ovviamente ne esiste solo una, quindi cosa dovrei dire? Che la derivata coincide con se stessa ergo è chiusa?
Mi fa sorridere, ma non capisco se sia il modo giusto di rispondere al mio quesito
Grazie
Risposte
Ti poni una domanda prima ancora di avere enunciato le definizioni necessarie. Quale sarebbe la definizione di "forma differenziale chiusa", in una variabile? Non l'hai data, e dopo vari giri di parole ti sorprendi di non riuscire a darla.
In effetti il motivo per cui ti blocchi è che la definizione con le derivate in croce non è quella adatta alla tua domanda. La definizione adatta è quella con il differenziale esterno. Una forma differenziale chiusa è quella per cui il differenziale esterno si annulla. Questa definizione si estende verbatim al caso uno-dimensionale, ed è immediato verificare che in tal caso tutte le forme differenziali sono chiuse (se non hanno singolarità, naturalmente).
In effetti il motivo per cui ti blocchi è che la definizione con le derivate in croce non è quella adatta alla tua domanda. La definizione adatta è quella con il differenziale esterno. Una forma differenziale chiusa è quella per cui il differenziale esterno si annulla. Questa definizione si estende verbatim al caso uno-dimensionale, ed è immediato verificare che in tal caso tutte le forme differenziali sono chiuse (se non hanno singolarità, naturalmente).
Ciao!
la domanda mi ha sollevato dubbi esistenziali, anche se alla fine sono giunto alla conclusione che in realtà il problema non si pone proprio
Credo che tu (come anche io alla prima lettura) abbia confuso il concetto di campo con quello di spazio vettoriale banale. Provo a spiegarti.
In generale le forma differenziali vogliono estendere il concetto di funzione in più variabili in modo da poter integrare su varietà, anzi questa è proprio la loro caratterizzazione: una k-forma mi permette di effettuare l'integrale su una varietà differenziale di dimensione k.
A livello formale una k-forma è un'applicazione che prende k-vettori e restituisce uno scalare; dunque una 0-forma è un'applicazione che non prende alcun vettore e restituisce uno scalare, ovvero una mappa \(\displaystyle f: \{0 \} \rightarrow \mathbb{R} \) dove ${0}$ è lo spazio vettoriale banale. Dunque potrei addirittura identificare la mappa con lo scalare $f(0)$. A questo punto che senso ha parlare di derivata di una mappa che in realtà è uno scalare?
Per questo motivo credo che il problema non si pone nemmeno.
Spero di esserti stato utile! Chiedo agli altri lettori di confermare/confutare la mia teoria
la domanda mi ha sollevato dubbi esistenziali, anche se alla fine sono giunto alla conclusione che in realtà il problema non si pone proprio
Credo che tu (come anche io alla prima lettura) abbia confuso il concetto di campo con quello di spazio vettoriale banale. Provo a spiegarti.
In generale le forma differenziali vogliono estendere il concetto di funzione in più variabili in modo da poter integrare su varietà, anzi questa è proprio la loro caratterizzazione: una k-forma mi permette di effettuare l'integrale su una varietà differenziale di dimensione k.
A livello formale una k-forma è un'applicazione che prende k-vettori e restituisce uno scalare; dunque una 0-forma è un'applicazione che non prende alcun vettore e restituisce uno scalare, ovvero una mappa \(\displaystyle f: \{0 \} \rightarrow \mathbb{R} \) dove ${0}$ è lo spazio vettoriale banale. Dunque potrei addirittura identificare la mappa con lo scalare $f(0)$. A questo punto che senso ha parlare di derivata di una mappa che in realtà è uno scalare?
Per questo motivo credo che il problema non si pone nemmeno.
Spero di esserti stato utile! Chiedo agli altri lettori di confermare/confutare la mia teoria
Credo di dover mettere a posto le idee riguardo queste forme perché mi stanno portando al manicomio 
Il problema è che temo mi siano state introdotte in modo un po' sbrigativo per scopi di meccanica razionale e ora trovo lacune enormi.
Ad esempio mi sono state introdotte (da quanto ho capito) come una funzione che associa a un punto un funzionale lineare (le dispense danno questo nome, anche se so che c'è un problema di nomenclatura: funzionale è spesso usato per mappe che hanno per argomento una funzione, ma assecondiamo tale nomenclatura per ora). Ognuna di queste immagini dellafunzione "forma" si può mostrare che appartiene a uno spazio vettoriale detto duale.
La cosa interessante è che posso definire una base detta base duale: $dx^i$ (nel caso della MR sono degli "oggetti" che applicati alla base del vettore tangente danno una delta di kronecker sugli indici). Ora però ho un grande problema perché in wikipedia -link che mi hai dato- dice che prese le coordinate locali $(x^1,...,x^n)$ considera i differenziali: $(dx^1,...,dx^n)$. Qui trovo una lacuna: da quanto avevo capito i dx erano una semplice base (in particolare si hanno diverse n-forme con diversi prodotti wedge tra i vari dx1 e dx2 ecc. e $dx^i\wedgedx^j$ è una base della 2 forma ad esempio) quindi posso scrivere $\omega=\omega_i dx^i$ (uso la notazione di sommatoria per indici in alto e in basso) dove $\omega_i$ è una componente associata alla rispettiva base, nel link invece i dx per wikipedia sono "differenziali"; mentre il differenziale per me è una forma esatta, ossia quando $\omega_i=(\partialf)/(\partialx^i)$ ove esista f.
Quindi cosa voglia dire che i $dx^i$ sono differenziali non mi è molto chiaro: se il differenziale lo definisco come forma esatta, e quei $dx^i$ mi servono per definire la forma (sfruttandoli come base), come faccio a chiamare a priori dx differenziale se devo ancora definirlo?
Insomma per me dx è solo un nome che do alla base, mentre mi pare di capire che più profondamente sia un differenziale essa stessa, ma non capisco il motivo per quanto detto: ad esempio in un esempio concreto perché il differenziale della componente x-iesima applicato alla base del vettore tangente i-esimo dovrebbe darmi proprio 1?
Mi sto incartando
[EDIT]
Intende forse dire che presa la funzione $x^i$ c.locale il differenziale sarebbe, sfruttando la base $dx'^i$ (chiamo primo solo per distiunguerle non sapendo che sono la stessa cosa):
$dx^i=(dx^i)/(dx^i) dx'^i=1dx'^i$
Il problema è che temo mi siano state introdotte in modo un po' sbrigativo per scopi di meccanica razionale e ora trovo lacune enormi.
Ad esempio mi sono state introdotte (da quanto ho capito) come una funzione che associa a un punto un funzionale lineare (le dispense danno questo nome, anche se so che c'è un problema di nomenclatura: funzionale è spesso usato per mappe che hanno per argomento una funzione, ma assecondiamo tale nomenclatura per ora). Ognuna di queste immagini dellafunzione "forma" si può mostrare che appartiene a uno spazio vettoriale detto duale.
La cosa interessante è che posso definire una base detta base duale: $dx^i$ (nel caso della MR sono degli "oggetti" che applicati alla base del vettore tangente danno una delta di kronecker sugli indici). Ora però ho un grande problema perché in wikipedia -link che mi hai dato- dice che prese le coordinate locali $(x^1,...,x^n)$ considera i differenziali: $(dx^1,...,dx^n)$. Qui trovo una lacuna: da quanto avevo capito i dx erano una semplice base (in particolare si hanno diverse n-forme con diversi prodotti wedge tra i vari dx1 e dx2 ecc. e $dx^i\wedgedx^j$ è una base della 2 forma ad esempio) quindi posso scrivere $\omega=\omega_i dx^i$ (uso la notazione di sommatoria per indici in alto e in basso) dove $\omega_i$ è una componente associata alla rispettiva base, nel link invece i dx per wikipedia sono "differenziali"; mentre il differenziale per me è una forma esatta, ossia quando $\omega_i=(\partialf)/(\partialx^i)$ ove esista f.
Quindi cosa voglia dire che i $dx^i$ sono differenziali non mi è molto chiaro: se il differenziale lo definisco come forma esatta, e quei $dx^i$ mi servono per definire la forma (sfruttandoli come base), come faccio a chiamare a priori dx differenziale se devo ancora definirlo?
Insomma per me dx è solo un nome che do alla base, mentre mi pare di capire che più profondamente sia un differenziale essa stessa, ma non capisco il motivo per quanto detto: ad esempio in un esempio concreto perché il differenziale della componente x-iesima applicato alla base del vettore tangente i-esimo dovrebbe darmi proprio 1?
Mi sto incartando
[EDIT]
Intende forse dire che presa la funzione $x^i$ c.locale il differenziale sarebbe, sfruttando la base $dx'^i$ (chiamo primo solo per distiunguerle non sapendo che sono la stessa cosa):
$dx^i=(dx^i)/(dx^i) dx'^i=1dx'^i$
Credo che il tuo problema nasca dal fatto che non possiedi le conoscenze necessarie per capire a fondo questo argomento (a meno che tu non stia affrontando un corso di introduzione alla geometria algebrica non credo vedrai mai questi argomenti a pieno). Il mio consiglio, se vuoi capirci di più, è quello di studiare prima un po' di Algebra Tensoriale e poi gli argomenti di Geometria Algebrica che riguardano le forme e la loro integrazione. Un testo base di riferimento che potrei consigliarti è l'Abate-Tovena "Geometria differenziale" Cap.1 e 4.
Spero di esserti stato utile!
Spero di esserti stato utile!
@Henri: il problema non è tra 0-forme e 1-forme, qui si parla di forme differenziali su uno spazio di dimensione 1.
@jimbolino: queste cose fanno confondere molto, (link) ma in fondo si tratta solo di una notazione. Quello che dici è tutto corretto.
@jimbolino: queste cose fanno confondere molto, (link) ma in fondo si tratta solo di una notazione. Quello che dici è tutto corretto.
@dissonance: grazie per il link che orami vado a leggere con calma perché è qualcosa che anche se forse supera i confini del corso in sé mi piacerebbe capire per estendere la mia conoscenza.Epoi se mi appassiona perché no aggiungerlo anche al mio piano carriera nei crediti liberi.
Volevo chiederti se anche l'edit che ho fatto fosse corretto come interpretazione.
Grazie ancora.
@Henry: ringrazio anche te per i consigli, ogni intervento è molto utile
Come giustamente dici ci vorrebbe un corso a sé stante, però mi sta appassionando molto il discorso. Qualcosa di algebra tensiriale mi è stato introdotto nel corso e come tensori antisimmetrici.
Volevo chiederti se anche l'edit che ho fatto fosse corretto come interpretazione.
Grazie ancora.
@Henry: ringrazio anche te per i consigli, ogni intervento è molto utile
Come giustamente dici ci vorrebbe un corso a sé stante, però mi sta appassionando molto il discorso. Qualcosa di algebra tensiriale mi è stato introdotto nel corso e come tensori antisimmetrici.
Ma si, è corretto, è solo una tautologia, ma capisco ti possa aiutare dal punto di vista psicologico.
Lol grazie
Ho letto il link, ti ringrazio molto
Ho letto il link, ti ringrazio molto
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