Epsilon delta nei limiti

[bmabs]

Come da titolo vorrei gentilmente chiedere di risolvere un dubbio che mi attanaglia sull'epsilon delta nei limiti.

La definizione di limite finito per x che tende a valore finito inizia con "Per ogni epsilon", il dubbio semplice è questo: solitamente si intende "piccolo apiacere", tuttavia se mettiamo io avessi una funzione per cui la definizione di limite vale per alcuni epsilon piccoli a piacere da un ε0 fissato, mentre per ε>ε0 non valesse la definizione. In tal caso posso comunque parlare di limite?

SPero di poter chiarire con l'aiuto di qualcuno.
Lo ringrazio molto.

[gugo82]

Ma anche sì.
Se una dimostrazione di limite vale $AA 0 < epsilon < epsilon_0$ (con $epsilon_0>0$ fissato) allora vale $AA epsilon >0$.

Infatti, supponiamo che $AA 0 < epsilon < epsilon_0, EE delta = delta_epsilon >0:\ AA x in X, 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon$, per qualche funzione $f:X -> RR$, $x_0$ di accumulazione per $X$ ed $l in RR$, e mostriamo che in realtà vale $AA epsilon > 0, EE delta = delta_epsilon >0:\ AA x in X, 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon$.
Chiaramente, basta mostrare che la tesi vale per $epsilon >= epsilon_0$, visto che gli altri valori sono “coperti” dall’ipotesi.
Fissiamo $epsilon >= epsilon_0$ e consideriamo il numero $epsilon’ := 1/2 epsilon_0$, che chiaramente soddisfa l’ipotesi giacché risulta $0 < epsilon’ < epsilon_0$; conseguentemente possiamo trovare un $delta’ = delta_(epsilon’) >0$ tale che $AA x in X, 0< | x - x_0| < delta’ => |f(x) - l| < epsilon’$ e, dato che $epsilon >= epsilon_0 > epsilon’$, da ciò segue $AA x in X, 0< | x - x_0| < delta’ => |f(x) - l| < epsilon$; dunque la tesi vale prendendo $delta_epsilon = delta’$.

[bmabs]

Avevo ringraziato ma non deve essere stato approvato il messaggio.

Ci riprovo Grazie mille gugo82 per l'aiuto