Analisi matematica di base
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Ciao! Mi sto vedendo i polinomi di Taylor, sto cercando di mettere un po' d'ordine a ciò che è stato fatto a lezione e le dimostrazioni. In particolare questa affermazione mi sembra vera e vorrei chiedere un parere a voi.
Siano \(p, q \colon \mathbb R \to \mathbb R\) due polinomi di grado \(\le n\). Se \[p(x) = q(x) + o(x^n) \quad\text{per } x \to 0\] allora i due polinomi sono uguali.
Sia \[
\lim_{x \to 0} \frac{p(x)-q(x)}{x^n} = 0
\] Ora, se fosse che \(p \ne q\), ...
Qualcuno potrebbe aiutarmi per favore a risolvere questo esercizio?? Grazie a chiunque risponda.
Provare che, per ogni $a,b in [0,2]$, si ha:
$|\log \frac{b^{3}+1}{a^{3}+1} | \leq \root[3]{4}|b-a|$
Io sono arrivato ad assumere che $b != a$, perché la disuguaglianza è ovvia se sono uguali, e ho posto $b > a$ per poter togliere il valore assoluto, ma non riesco ad andare avanti.
Ciao a tutti,
apro la mia presenza sul forum con un dubbio stupido che non riesco a fugare da solo.
Studiando la derivata prima non riesco bene a capire da "dove parta a dove arrivi" la funzione derivata. Provo a spiegare..
Il punto è che la funzione che voglio derivare
f:R->R
1) mi accorgo che la funzione derivata prima potrei vederla come la funzione che associa ad ogni punto del dominio della f (iniziale) la sua derivata prima, ossia una funzione:
f': R->R
x |-> f'
2) Tuttavia ...
data la funzione $ f(x,y)=x^2y^2+2xy^3+y^4$ , calcolarne la derivata nel punto p=(0,1) in direzione (i+2j).
il mio svolgimento:
calcolo il gradiente:
$ grad f(x,y)=(2xy^2+2y^3,2yx^2+6xy^2+4y^3) $
sostituendo con $ P=(0,1)$ ottengo$ (2,4)$
a questo punto data la direzione$ i+2i $ come calcolo il vettore V ed effettuo il prodotto scalare tra il gradiente e il vettore V?
soluzione del libro:
$ grad(0,1)=2i+4j $ . Dunque la derivata direzionale richiesta è data da$ (i+2j)/(||i+2j||)*(2i+4j)=2sqrt(5)$
Grazie!
Esercizio:
Si calcoli
\[ \lim_{n \to + \infty} \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \]
possibilmente senza l’uso del calcolo integrale.
L'esercizio proposto è il seguente
Verificare che la funzione \(\displaystyle f(x,y) = \sqrt[3]{x^2y} \) non è differenziabile in \(\displaystyle (0,0) \) utilizzando il teorema della derivata direzionale per le funzioni differenziabili
Volevo allora utilizzare, per esercizio, il teorema del differenziale totale: mi serve, per l'ipotesi, che f sia continua in (0,0) e che le derivate parziali fx,fy siano continue in (0,0).
(*) La funzione è continua in (0,0)
(*) Calcolo allora le derivate ...
Sia dato il PdC
\[ \begin{cases} y'(x) = \sin( y(x) + x^2) \quad \quad & x \in \mathbb{R} \\ y(0)=0 \end{cases}. \]
Si dimostri che esiste un'unica soluzione di classe $C^{\infty}$ definita su tutto $\mathbb{R}$ e che inoltre vale
\[ y(x) >0 \quad \quad x \in (0, \sqrt{\pi}). \]
Ciao, cerco dei chiarimenti riguardo le funzioni a valori vettoriali. VI ringrazio per l'aiuto
Il problema è il seguente: La funzione a valori vettoriali è del tipo $F:R^m->R^n$ ossia ad ogni punto $x \in R^m$ associa un vettore in $R^n$. Però per quale motivo il punto x è un punto e l'immagine di x tramite la funzione un vettore?
Perché non sono entrambi punti o entrambi vettori essendo ennuple di $R^k, k=n,m$, non riesco a cogliere la sottigliezza e la ...
Determinare gli estremi della funzione \(\displaystyle f(x,y) = x^2y \) in \(\displaystyle Z = \left \{ x^2+y^2 = 1 \right \}
\)
1) Cerco tutti quei punti in cui il gradiente si annulla e che allo stesso tempo appartengono a Z
\(\displaystyle
\left\{\begin{matrix}
f_x = 2xy
\\
f_y = x^2
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
(0,0) \notin Z \)
dunque non considero il punto (0,0)
2) Cerco tutti quei punti di non differenziabilità
\(\displaystyle f(x,y) \) è differenziabile ovunque, dunque non ...
Buongiorno a tutti, ho bisogno di aiuto su questi quesiti:
Primo quesito:
La soluzione di un equazione differenziale è: y=c1cos(√6 x)+c2sin(√6 x)+c3cos(√3 x)+c4sin(√3 x)+ 1/6
A) possiede esclusivamente soluzioni periodiche e infinite soluzioni periodiche hanno periodo
fondamentale 2π/√3
B) ha infinite soluzioni non periodiche e tutte le soluzioni periodiche hanno periodo fondamentale 2π/√ 3
C) ha tutte le soluzioni limitate superiormente ed ha infinite soluzioni periodiche di ...
Quello che si deve dimostrare è questo:
Mia idea:
Dimostro per induzione
Passo base n=0
Abbiamo la funzione stessa, che è sempre maggiore uguale di 0
Ipotesi induttiva:
La sommatoria è maggiore uguale di 0 per ogni n
Dimostro che è valida per n+1
Per n+1 la sommatoria si può riscrivere come la somma delle derivate da 0 fino ad n, con l'aggiunta della derivata n+1-esima. Ora questa derivata n+1-esima vale 0 essendo la funzione polinomiale e di grado n, mentre la somma delle ...
Salve a tutti, sto appena introducendo qualche nozione di superfice in $ R^3$ però ho delle difficoltà a capire la parametrizzazione.
una $r(u, v)$ che parametrizza una superfice contenuta in $ A sube R^2$ è scritta in forma vettoriale con l'utilizzo dei versori in questa forma:
$ r(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k $
Ora per quanto riguardavano le curve mi era abbastanza chiaro il concetto di paramettrizzazione e di come variavano le componenti, però adesso non mi è molto chiaro perché ho ...
Qualcuno è a conoscenza di come calcolare la radice quadrata di 4,2 alla quinta cifra decimale, utilizzando le serie numeriche?
Grazie a chi risponderà
Buonasera, ho provato a svolgere un esercizio sullo studio di una serie attraverso il criterio della radice (richiesto dall'esercizio), ma purtroppo non riesco a proseguirlo:
$ sum((3n)/(5n+1))^(2n-1) $
$ (3n)/(5n+1)>=0 $
$ lim((3n)/(5n+1))^((2n-1)/n)= lim((3n)/(5n+1))^(2)*((3n)/(5n+1))^(-1/n) $
E purtroppo da qui non so più come andare avanti.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie in anticipo.
Salve ragazzi,
vorrei disegnare una spirale ricoperta da un certo numero $N$ di dischetti i cui centri $p_i$ giacciono sulla spirale e sono alla stessa "distanza" l'uno dall'altro; più precisamente vorrei che la lunghezza della porzione di spirale che congiunge $p_i$ e $p_{i+1}$ sia la stessa per ogni $i$.
Sono partito parametrizzando la spirale come
\[
\rho(\theta)=a\theta,\quad \theta \in [0,2n\pi],\ a>0
\]
dove ...
Buongiorno, devo risolvere il seguente sistema $S_F$, dove sono presenti le C.E. della seguente funzione
$f(x)=(sqrt(1/2-log_3(tan(x)+2sin(x)))-sqrt(pi^2-4x^2))/(arcsin(sqrt(x^2-x)-|x|))$
\(\displaystyle S_F=\begin{cases} -1 \le \sqrt {(x^2-x)} -|x| \le 1 \\ arcsin(\sqrt{(x^2-x)}-|x|) \ne 0\\ \pi^2-4x^2 \ge 0 \\ x\ne \pi/2 + k\pi, \qquad k \in Z \\ tan(x) + 2sin(x) >0 \\ 1/2-log_3(tan(x)+2sin(x)) \ \ge 0
\end{cases} \)
Vi chiedo, devo determinare prima il perido del sistema, visto che sono presenti delle funzioni goniometriche, quindi, una ...
Buongiorno,
ho la seguente funzione $sqrt((|tanx|-|sinx|)/(x-elog(x))$
impongo le varie c.e. le risolvo, ma quando arrivo a risolvere $x-elog(x) ne 0$ non so affrontarla.
C'è quel $e$ che mi suggerisce qualcosa ma non riesco a vedere niente purtroppo, come posso inquadrarla ?
Ciao a tutti, devo risolvere questo limite.
Ho provato a risolverlo con gli Sviluppi di Taylor e con il teorema di De l'Hospital.
Il problema è quell' \( x^3lnx \) che con Taylor non si può sviluppare.
Ho pensato a sostituire \( lnx= t\rightarrow x=e^t \) ma anche questa strada non mi è sembrata la migliore.
Qualcuno ha consigli su come procedere?
\( \lim_{x \to 0}\frac{xtan (\frac{x}{2})+ln(1+\sin^2x)}{(1+3x)^\frac{1}{3}-e^x-x^3lnx} \)
Grazie a tutti
Ciao ragazzi, ho un dubbio su un passaggio di un integrale e vorrei chiedervi se come ragionamento il mio ha senso oppure no.
L'integrale di partenza è $ int x*arctg (1/( \sqrt{x})) dx $
Il primo passaggio che mi è venuto in mente è stato quello di porre $ t = 1/sqrtx $
E di conseguenza $ dt = -(1/(2x^(3/2)))dx $
Ora ho un dubbio nel passaggio successivo.
Ho moltiplicato sia numeratore che denominatore per $ x^(3/2) $
Arrivando ad avere $ int (x*arctg (1/(sqrtx))dx *x^(3/2)) /x^(3/2) $
A questo punto ho moltiplicato nuovamente ...
Buonasera,
mi potete dare una mano con questo limite ?
$ lim_(n -> +oo) e^((-1)^n/n)(sin(1/n)-1/n)n^4 $
considero il caso di indice pari:
$m = 1/n$
$ lim_(n -> 0^+) e^m(sinm-m)1/m^4 $
$ lim_(m -> 0^+) e^m/m(sinm/m-m/m)1/m^2 $
$ lim_(m -> 0^+) ((e^m-1)/m+1/m)(sinm/m-1)1/m^2 = [oo*0*oo] $
E da qui in poi non riesco ad andare avanti.
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