Dubbio gradiente
Nei libri di fisica sto incontrando più volte la seguente relazione:
$$f(x+dx, y+dy, z+dz)=f(x,y,z)+\vec{\nabla} f \cdot \vec{ds} \quad \text{con} \quad \vec{ds}=(dx, dy, dz)$$
Intuitivamente capisco perché ciò vale. Ogni volta viene precisato soltanto che $\vec{ds}$ sia molto piccolo... ma nella definizione di gradiente c'è la derivata e la derivata nasconde un limite che non vedo nella relazione di prima, infatti si avrebbe:
$$\frac{f(x+dx, y+dy, z+dz)-f(x,y,z)}{\vec{ds}}= \vec{\nabla}f$$
Il mio dubbio è:
Esiste un teorema o più in generale una dimostrazione rigorosa da cui consegue la prima formula che ho scritto?
Oppure, è semplicemente una approssimazione che per "capirla" non si possono fare altri passaggi oltre quelli scritti da me e che con la frase "$\vec{ds}$ piccolo" si intenda proprio $\vec{ds} \to (0,0,0)$?
$$f(x+dx, y+dy, z+dz)=f(x,y,z)+\vec{\nabla} f \cdot \vec{ds} \quad \text{con} \quad \vec{ds}=(dx, dy, dz)$$
Intuitivamente capisco perché ciò vale. Ogni volta viene precisato soltanto che $\vec{ds}$ sia molto piccolo... ma nella definizione di gradiente c'è la derivata e la derivata nasconde un limite che non vedo nella relazione di prima, infatti si avrebbe:
$$\frac{f(x+dx, y+dy, z+dz)-f(x,y,z)}{\vec{ds}}= \vec{\nabla}f$$
Il mio dubbio è:
Esiste un teorema o più in generale una dimostrazione rigorosa da cui consegue la prima formula che ho scritto?
Oppure, è semplicemente una approssimazione che per "capirla" non si possono fare altri passaggi oltre quelli scritti da me e che con la frase "$\vec{ds}$ piccolo" si intenda proprio $\vec{ds} \to (0,0,0)$?
Risposte
Quando c'è di mezzo un "infinitesimo", la formula va letta come segue: sviluppare secondo Taylor e buttare tutti i termini di ordine superiore al primo. In questo caso, la formula è
\[
f(x+\Delta x, y+ \Delta y, z + \Delta z) = f(x,y,z)+ \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y +\frac{\partial f}{\partial z} \Delta z + O((\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2).\]
Butta via tutti i termini superiori al primo e scrivi \(dx\) in luogo di \(\Delta x\) per segnalare che stai facendo questa approssimazione.
\[
f(x+\Delta x, y+ \Delta y, z + \Delta z) = f(x,y,z)+ \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y +\frac{\partial f}{\partial z} \Delta z + O((\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2).\]
Butta via tutti i termini superiori al primo e scrivi \(dx\) in luogo di \(\Delta x\) per segnalare che stai facendo questa approssimazione.
Certo! In effetti, ora che ci penso, lo scorso anno accademico mi era stato "accennato" che andava letta in questo modo ma lo avevo completamente cancellato dalla mente... 
Grazie per la risposta
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