Vi sembra giusta questa dimostrazione

[Nexus991]

Quello che si deve dimostrare è questo:


Mia idea:
Dimostro per induzione

Passo base n=0
Abbiamo la funzione stessa, che è sempre maggiore uguale di 0

Ipotesi induttiva:
La sommatoria è maggiore uguale di 0 per ogni n

Dimostro che è valida per n+1
Per n+1 la sommatoria si può riscrivere come la somma delle derivate da 0 fino ad n, con l'aggiunta della derivata n+1-esima. Ora questa derivata n+1-esima vale 0 essendo la funzione polinomiale e di grado n, mentre la somma delle derivata da 0 fino ad n è maggiore uguale di 0 per ipotesi induttiva

Cosa ne pensate?
Avete qualche idea migliore?

[Raptorista1]

A parte che potevi fare lo sforzo di riscrivere il testo anziché inserire un'immagine, che è vietato dal regolamento,

"Nexus99":
Passo base n=0
Abbiamo la funzione stessa, che è sempre maggiore uguale di 0

Questo è irrilevante e non dimostra la formula

"Nexus99":
essendo la funzione polinomiale e di grado n

Questo è sbagliato: nel passo induttivo la funzione sarà di grado \(n+1\), non \(n\).

"Nexus99":
Cosa ne pensate?
Avete qualche idea migliore?

Intanto puoi scartare metà degli \(n\) [Quale? E perché?].
Poi devi scrivere la dimostrazione come si deve.

[Mathita]

Curioso, stesso identico esercizio qui.

[dissonance]

"Mathita":Curioso, stesso identico esercizio qui.

@Nexus: Nell'altro topic, l'esercizio era scritto in formule e non fotografato. E difatti qualcuno ha risposto. Sempre meglio scrivere le cose per bene, invita molto più a rispondere. (A parte il fatto che il regolamento prevede che le formule vadano scritte per bene, chiaramente).

[Nexus991]

@dissonance
Probabilmente qualche compagno di corso?
Comunque sono arrivato alla conclusione che f deve essere di grado pari e il suo coefficiente direttore deve essere >0, ma da qui non so come andare avanti

[dissonance]

Si, si, quello che volevo dire è che se uno scrive bene i post, con le formule, è più probabile che riceva risposte.

[Brufus1]

La formula di taylor può aiutare?

[Raptorista1]

"Nexus99":
Comunque sono arrivato alla conclusione che f deve essere di grado pari e il suo coefficiente direttore deve essere >0, ma da qui non so come andare avanti

Bene, adesso prova di nuovo per induzione, solo che anziché \(p(n) \Rightarrow p(n+1)\) devi dimostrare \(p(n) \Rightarrow p(n+2)\).

[Nexus991]

Alle fine ho risolto ponendo la funzione ausiliaria h(x) uguale alla sommatoria delle derivate. Si può dimostrare come h(x) abbia un minimo maggiore uguale a 0, per cui la tesi è dimostrata

[dissonance]

@Nexus: perché non scrivi qualche dettaglio? Nell'altro thread

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=204378

ancora nessuno ha postato una soluzione. E' interessante.

[jinsang]

Ma nel testo la sommatoria non deve partire da 0? Se no a me sembra falso anche per $f(x)=x^2$...

[jinsang]

Comunque, se il testo corretto è quello con la sommatoria che parte da 0, allego una possibile dimostrazione (che interpreta un po' quello che ha detto nexus qualche messaggio fa):

Dato $f$ polinomio tale che \( f(x) \geq 0 \ \ \forall x \) (quindi forzatamente di grado pari, diciamo $n$)
Pongo \( h(x)=\sum_{k=0}^n f^{(k)}(x) \)
Voglio dimostrare \( h(x) \geq 0 \ \ \forall x \)

Poiché $h$ è polinomio di grado pari vale \( \lim_{x \rightarrow +\infty}h(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty}h(x)=+\infty \)
Quindi $h$ assume minimo in \( x_{min} \)
Quindi \( 0=h'(x_{min})=\sum_{k=1}^n f^{(k)}(x_{min}) \)
Da cui \( h(x_{min})=\sum_{k=0}^n f^{(k)}(x_{min})=f(x_{min}) \geq 0 \)
Segue la tesi.

[dissonance]

@jinsang: non riesco a capire perché \(\sum f^{(k)}(x_{\mathrm{min}})\) sia uguale a \(f(x_{\mathrm{min}})\).

interpreta un po' quello che ha detto nexus

Come dice Quinzio, Nexus ha fatto come Fermat.

[jinsang]

"dissonance":non riesco a capire perché $\sumf^{(k)}(x_{min})$ sia uguale a $f(x_{min})$.

Perché \( h'(x_{min})=\sum_{k=1}^n f^{(k)}(x_{min})=0 \)
E quindi \( h(x_{min})=\sum_{k=0}^n f^{(k)}(x_{min})=f(x_{min})+\sum_{k=1}^n f^{(k)}(x_{min})= f(x_{min})+ h'(x_{min})=f(x_{min}) \)

"dissonance":Come dice Quinzio, Nexus ha fatto come Fermat.

E' vero! S'è fermat tropp prest

[dissonance]

Buona dimostrazione.