Domanda teorica analisi II
Salve, l esercizio è il seguente:
Sia A = ]0,1[x]0,1[ e sia $f:A rarr RR$ una funzione differenziabile e tale che $|\gradf(x)| <= 1$ per ogni $x \epsilon A$. Esistono $x, y \epsilon A$ tali che $|f(x) - f(y)| > 2$? Giustificare la risposta.
Allora io ho pensato, che per il teorema del valor medio
$EE x,y \epsilon A, EE \xi \epsilon [x,y]$ tale che $|f(x) - f(y)| <= |\nablaf(\xi)||x - y|$
Dato che il valore $\xi$ è compreso fra x e y, allora anche $|\nablaf(x)| <= 1$ e dato che $|x - y|$ rappresenta la distanza tra i due punti, la distanza massima che ci può essere nell' insieme A (un quadrato di lato 1) è $sqrt(2)$
Di conseguenza ottengo che $|f(x) - f(y)| < sqrt(2)$
Secondo voi è giusto?
Sia A = ]0,1[x]0,1[ e sia $f:A rarr RR$ una funzione differenziabile e tale che $|\gradf(x)| <= 1$ per ogni $x \epsilon A$. Esistono $x, y \epsilon A$ tali che $|f(x) - f(y)| > 2$? Giustificare la risposta.
Allora io ho pensato, che per il teorema del valor medio
$EE x,y \epsilon A, EE \xi \epsilon [x,y]$ tale che $|f(x) - f(y)| <= |\nablaf(\xi)||x - y|$
Dato che il valore $\xi$ è compreso fra x e y, allora anche $|\nablaf(x)| <= 1$ e dato che $|x - y|$ rappresenta la distanza tra i due punti, la distanza massima che ci può essere nell' insieme A (un quadrato di lato 1) è $sqrt(2)$
Di conseguenza ottengo che $|f(x) - f(y)| < sqrt(2)$
Secondo voi è giusto?
Risposte
Sì, è corretto.
Devi solo precisare che la possibilità di applicare il teorema del valor medio discende dal fatto che $A$ è convesso (quindi per ogni coppia di punti $x, y\in A$ il segmento che li congiunge sta tutto in $A$).
Devi solo precisare che la possibilità di applicare il teorema del valor medio discende dal fatto che $A$ è convesso (quindi per ogni coppia di punti $x, y\in A$ il segmento che li congiunge sta tutto in $A$).
Ok grazie mille ;D
[OT]
Carinissimo questo esercizio... Me lo dovrò ricordare.
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Carinissimo questo esercizio... Me lo dovrò ricordare.
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