Dubbio soluzione eq. differenziale
Ciao a tutti
ho la seguente equazione differenziale di cui trovare la soluzione
[tex]y' (x)=\sinh(x) (y^{2} (x)-1)[/tex]
che riscrivo come
[tex]y' (x)= y^{2} (x)\sinh(x)-\sinh(x)[/tex]
secondo voi ha senso risolverla usando il metodo di sovrapposizione ovvero studiano due diverse equazioni differenziali?
[tex]y'_{1} (x)= y_{1}^{2} (x)\sinh(x)[/tex]
e
[tex]y'_{2} (x)= -\sinh(x)[/tex]
risolvendo la prima come equazione differenziale a variabili separabili e la seconda con integrazione diretta e infine sommando i risultati ottenuti
Esiste un metodo migliore o magari più diretto per risolverla?
inoltre l'esercizio mi chiede di dire se esiste una soluzione per ogni valore iniziale [tex]y_{0} = y(x_{0}); x_{0}, y_{0} \in \mathbb{R}[/tex]
dato che questa è una equazione differenziale di primo grado mi aspetto che mi dia un solo coefficiente da ricavare con le condizioni iniziali, (ma magari mi sbaglio) quindi non riesco ad immaginare perchè possano esistere delle condizioni iniziali che non mi danno soluzione. Sbaglio?
ho la seguente equazione differenziale di cui trovare la soluzione
[tex]y' (x)=\sinh(x) (y^{2} (x)-1)[/tex]
che riscrivo come
[tex]y' (x)= y^{2} (x)\sinh(x)-\sinh(x)[/tex]
secondo voi ha senso risolverla usando il metodo di sovrapposizione ovvero studiano due diverse equazioni differenziali?
[tex]y'_{1} (x)= y_{1}^{2} (x)\sinh(x)[/tex]
e
[tex]y'_{2} (x)= -\sinh(x)[/tex]
risolvendo la prima come equazione differenziale a variabili separabili e la seconda con integrazione diretta e infine sommando i risultati ottenuti
Esiste un metodo migliore o magari più diretto per risolverla?
inoltre l'esercizio mi chiede di dire se esiste una soluzione per ogni valore iniziale [tex]y_{0} = y(x_{0}); x_{0}, y_{0} \in \mathbb{R}[/tex]
dato che questa è una equazione differenziale di primo grado mi aspetto che mi dia un solo coefficiente da ricavare con le condizioni iniziali, (ma magari mi sbaglio) quindi non riesco ad immaginare perchè possano esistere delle condizioni iniziali che non mi danno soluzione. Sbaglio?
Risposte
Non capisco... io la farei così, a variabili separabili:
$(y'(x))/(y^2(x)-1) = sinh x$
$log ((y-1)/(y+1)) = 2cosh x +c$
$y = (1+ke^{2cosh\ x})/(1-ke^{2cosh\ x})$
$(y'(x))/(y^2(x)-1) = sinh x$
$log ((y-1)/(y+1)) = 2cosh x +c$
$y = (1+ke^{2cosh\ x})/(1-ke^{2cosh\ x})$
orca papera... mica lo avevo notato!!!
grazie
avrebbe però avuto senso il principio di sovrapposizione?
il mio ragionamento sull'esistenza delle soluzione è giusto?
grazie
avrebbe però avuto senso il principio di sovrapposizione?
il mio ragionamento sull'esistenza delle soluzione è giusto?
"Summerwind78":
avrebbe però avuto senso il principio di sovrapposizione?
Fai la prova. Prendi \(y_1, y_2\) tali che
\[y_1'=\sinh(x)y_1^2,\qquad y_2'=-\sinh(x), \]
chiama \(y=y_1+y_2\) e vedi un po' se è vero che
\[y'=\sinh(x)y^2-\sinh(x).\]
Mi sa di no, eh. Ma tu prova lo stesso.
"Summerwind78":
Ciao a tutti
ho la seguente equazione differenziale di cui trovare la soluzione
[tex]y' (x)=\sinh(x) (y^{2} (x)-1)[/tex]
[...] secondo voi ha senso risolverla usando il metodo di sovrapposizione ovvero studiano due diverse equazioni differenziali?
Ma proprio no: infatti la tua equazione è pesantemente nonlineare, quindi l'uso del principio di sovrapposizione non può essere lecito.
Io suggerirei ai matematici di non parlare di "principio di sovrapposizione" e di lasciarlo solo agli immatematicati (taluni fisici, ad es,).
L'uso di questa espressione mi fa venire in mente lo "ooohhh!" di stupore di un bambino. Per favore, che i matematici parlino il linguaggio della linearità ed amen. Anche perché, che c'azzecca il termine "principio"?
L'uso di questa espressione mi fa venire in mente lo "ooohhh!" di stupore di un bambino. Per favore, che i matematici parlino il linguaggio della linearità ed amen. Anche perché, che c'azzecca il termine "principio"?
io infatti non sono un matematico 
Mi riconduco al principio di sovrapposizione degli effetti che utilizza in elettronica.. in modo improprio ovviamente
Mi riconduco al principio di sovrapposizione degli effetti che utilizza in elettronica.. in modo improprio ovviamente
"Summerwind78":e quindi sei perdonato
io infatti non sono un matematico
Però una riflessione dovrebbe essere fatta, senza ripetere sicut ovis le parole da altri proferite. Come detto, è soprattutto il termine "principio" che ci sta come la brassica oleracea a merenda.
Un sistema o sue parti godrà o no della proprietà di sovrapposizione. E stop.
Chiedo venia!
Ma eri già perdonato! Si vis, ego te absolvo et coetera.
Ho sputato sentenze qui semplicemente perché questo era il thread, ma le mie parole erano rivolte erga ommnes
Ho sputato sentenze qui semplicemente perché questo era il thread, ma le mie parole erano rivolte erga ommnes
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