Esercizio derivate direzionali

[pietrodig]

Ciao ragazzi, volevo proporvi un esercizio riguardante le derivate direzionali e volevo sapere se il mio ragionamento era corretto. Dunque, data la funzione: $g(x,y)=(x^2(y-1))^(1/3) + 1$ si vuole calcolare $D_vg(0,1)$ per ogni direzione $v \in R^2$.
Ora, in un altro posto abbiamo stabilito che tale funzione non è differenziabile perchè applicando il metodo delle rette per l'origine risulta non essere differenziabile (giusto?). Adesso possiamo pensare il vettore $v \in R^2$ come formato da due componenti $(\alpha,\beta)$ tali che $|v|=sqrt(\alpha^2 + \beta^2)=1$. Passando al calcolo delle derivate direzionali nel punto indicato abbiamo:
$lim_(t->0)((t^3\alpha^2\beta)^(1/3))/t = lim_(t->0)(t((\alpha^2\beta)^(1/3)))/t = (\alpha^2\beta)^(1/3)$

Ho commesso degli errori? Il dubbio mi è sorto quando ho provato a risolvero sul wolframalpha, lì mi dice che il limite non esiste perchè sono diversi il limiti destro e sinistro (http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... %28%28%28t^3a^2b%29^%281%2F3%29%29%2Ft%29+)

[pietrodig]

ragazzi, c'è nessuno?

[pietrodig]

Nessuno vuole darmi una mano?

[Seneca1]

$g(x,y)=(x^2(y-1))^(1/3)$

$lim_(t -> 0^+) ( g [ (0,1) + t ( v_1 , v_2 ) ] - g(0,1) )/t =$

$ lim_(t -> 0^+) ( ((t v_1)^2(1 + t v_2 - 1))^(1/3) - 0 )/t = $

$ lim_(t -> 0^+) (( t^2 (v_1)^2 t v_2 )^(1/3))/t = $

$ lim_(t -> 0^+) (( (v_1)^2 v_2 )^(1/3) ) = ((v_1)^2 v_2 )^(1/3) $

[pietrodig]

Quindi quel limite esiste? Cmq mi sono accorto che alla funzione g(x,y) occorre aggiungere un +1, ho corretto la traccia.