Analisi matematica di base
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\(\displaystyle f(z)=\frac{\cos(z)}{z^2}+\frac{z-1}{z+5} \) lo sviluppo di Laurent di tale funzione mi è venuto \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n)}{(2n)!}z^{2n-2} +\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z^{n+1}}{5^{n+1}}-\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z^n}{5^{n+1}}\), ora quello che vorrei sapere è come faccio a calcolare il residuo in \(\displaystyle z_0 = 0 \), che so essere un polo di ordine 2, inoltre se io volessi scrivere i primi quattro termini della parte regolare come dovrei procedere? ...

Si consideri la funzione $ f(z)=e^(1/z) $. Dimostrare che l'immagine mediante f di un qualunque disco bucato di centro 0 è $ C-{0} $.
Poiché in 0 si ha una singolarità essenziale per dimostrarlo posso applicare il teorema di Picard ossia dire che poiché $ f $ è olomorfa nel campo complesso tranne in 0 dove presenta una singolarità essenziale allora preso un qualunque intorno di 0 allora la nostra $ f $ assume tutti i valore del campo complesso eccetto al più ...

Sia $I=(a,b)\subseteq\mathbb{R}$. Mostrare che $f\in C^k(I)$ sse per ogni $c\in(a,b)$ si può scrivere $f(t)=\sum_{i=0}^k a_i(c)(t-c)^i+o((x-c)^k)$, con gli $a_i(c)$ che sono funzioni continue.
A quanto pare l'implicazione più problematica è la $\Leftarrow$..
PS: non conosco nomi per questo lemma, se ne ha uno fatemi sapere

ciao a tutti. vorrei capire meglio quali sono le proprietà delle funzioni localmente integrabili,soprattutto il legame con gli integrali impropri...qualcuno mi puo aiutare? io so che una funzione localmente integrabile è una funzione integrabile su ogni sottoinsieme compatto dell insieme di definizione,giusto?se io ho una funzione continua e integrabile su $RR$ ,definita su tutto $RR$, posso dire che è localmente integrabile su tutto $RR$ ?

trova i valori di $\alpha > 0 $ per cui diverge l'integrale: (se $\alpha$ fosse reale?)
$\int_2^oo \frac{1 - \cos (\frac{1}{x^{\alpha}})}{(x-2)^{\alpha + \frac{1}{3}}} dx$
I punti dove ho problemi sono $2$ e $oo$ quindi devo spezzare l'integrale:
$\int_2^e \frac{1 - \cos (\frac{1}{x^{\alpha}})}{(x-2)^{\alpha + \frac{1}{3}}} dx + \int_e^oo \frac{1 - \cos (\frac{1}{x^{\alpha}})}{(x-2)^{\alpha + \frac{1}{3}}} dx$
e si posso studiare separatamente, per poi mettere al sistema le soluzioni trovate?
Cioè per il primo, se $x->2$ cosa posso dire?

Salve a tutti ragazzi, ho un problema con l'applicazione del criterio della radice ed in particolare con la risoluzione del limite che da questa applicazione deriva.
In pratica devo studiare per quali $\x in RR$ $\sum_(n=1)^infty [(n+1)/(xn-1)]^n$ converge.
Allora, applicando il criterio della radice faccio il $\lim_(n->infty) (|(n+1)/(xn-1)|^n)^(1/n)=lim_(n->infty) (|(n+1)/(xn-1)|)=lim_(n->infty) (|(n)/(xn)|)=lim_(n->infty) (|1/x|)$
Ora ho qualche dubbio sul passaggio $\lim_(n->infty) (|(n+1)/(xn-1)|)=lim_(n->infty) (|(n)/(xn)|)$. Posso farlo? Mi viene un dubbio pechè se ad esempio x fosse qualcosa tipo 0 non sarebbe poi così facile..almeno ...

\[
\begin{cases}
y'=\frac{2}{t}y+2t\sqrt{y} \qquad t>0\\
y(1)=0
\end{cases}
\]
Discutere esistenza ed unicità delle soluzioni. Allora sia \(f(t,y)=\frac{2}{t}y+2t\sqrt{y}\) e $f_y(t,y)=\frac{2}{t}+\frac{t}{\sqrt{y}}$. Abbiamo che $f$ è continua in \(D=(0,+\infty) \times [0,+\infty)\) mentre $f_y$ non è continua lungo l'asse $y=0$. Di conseguenza abbiamo soltanto dimostrato l'esistenza di almeno una soluzione al PdC ma non è detto che tale soluzione sia unica. Risolvendo ...

Ho difficoltà con questo esercizio. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo
Al variare del parametro reale \(\displaystyle \alpha \), determinare il carattere della serie [tex]\displaystyle\sum_{n = 1}^{+\infty }[/tex] [tex]{n}^{n\alpha} \over (3n)![/tex]
ho svolto (ma non so se è corretto)
[1]\(\displaystyle \alpha=0 \)
\(\displaystyle a_n=\frac{1}{(3n)!} \) uso il criterio del rapporto e viene [tex]\left( 1 \over (3n+3)! \right) (3n)![/tex]\(\displaystyle = \) [tex]1 \over ...

Salve a tutti,
voglio innanzitutto ringraziare l'intero forum per aver contribuito a farmi passare brillantemente gli esami di analisi 1 e 2 ^^.GRAZIE!!
Ora passiamo ai miei "nuovi" problemi.
Dato il segnale periodico:
$x(t)=2+\sin(0.3t+11°)-\frac{1}{4}\sin(0.6t+21°)+4\cos(1.2t)$
1- Si determinino i coefficienti della serie esponenziale di Fourier del segnale x(t);
2- Si determini la potenza media del segnale x(t),
Allora so che i coefficienti della serie esponenziale si calcolano come:
$c_{k}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{-j2\pi\frac{k}{T}t}dt$
Inoltre ho determinato ...

$f(x) = \sqrt{|4 - x^2| + 3x}$ Allora siccome vorrei cavarmela con i moduli, ne propongo un altro.
Vado a vedere dove si annulla il modulo $|4 - x^2|$ cioè in $\pm 2$ devo dire:
$|4 - x^2| ={(4 - x^2,if -2<=x<=2),(x^2-4,if x<-2 \cup x> 2):}$
Quindi ora ho due funzioni da studiare:
$\sqrt{|4 - x^2| + 3x} ={(\sqrt{4 - x^2 + 3x},if -2<=x<=2),(\sqrt{x^2 - 4 + 3x},if x<-2 \cup x> 2):}$
Ad esempio della prima $\sqrt{4 - x^2 + 3x}$ il dominio $4 - x^2 + 3x >= 0$ viene $-1<=x<=4$ ma considerando il dominio del modulo, infine tutto viene $-1<=x<=2$ ? Ovviamente se fosse giusto dovrei fare un discorso analogo a ...

Salve a tutti!!!
non riesco a capire come svolgere questo esercizio.
Determinare le funzioni u di classe $C^2 (RR^n) $ $n>=2$ della forma \(u(x) = g( \lVert x \rVert)^\alpha \)
con $x in RR^n$ $\alpha >1$ e tali che
\( \Delta u(x) =\lVert x \rVert^{2\alpha - 1} \) in $B_n$ palla unitaria di $RR^n$
un indizio su come iniziare?

Salve, io avrei un dubbio: ho questa funzione: $f(x,y)= x-e^(-y^2)+1$ , dove $ 0<=x<=e^(-y^2) $ , $y>=0$ e devo mostrare che il gradiente è perpendicolare in ogni punto alla curva $x=e^(-y^2)$ . Qualcuno può darmi un suggerimento su come procedere? Io so che il gradiente è sempre perpendicolare alle curve di livello, ma su $x=e^(-y^2)$ , cioè sulla frontiera, come faccio a dimostrarlo?
Poi sempre di questa funzione devo trovare max e min vincolati al dominio, ma quando faccio la ...

$\int \frac{\text{d}x}{\sqrt{e^{2x}- 4}} = \frac{1}{2} \int \frac{\text{d}u}{\sqrt{e^u - 4}}$ Se $u = 2x$
Ma ora a occhio a quale forma standar devo arrivare?

Salve a tutti ragazzi...sto impazzendo con la risoluzione di questo integrale..$\intsqrt(x^2+x+3) dx$
Allora ho provato ad applicare la formula di integrazione per parti e sembrava tutto ok fino a quando ho trovato una x in più al numeratore!!!
Il risultato dell'applicazione della formula è infatti $sqrt(x^2+x+3)*x-1/2*int((2x+1)*x)/sqrt(x^2+x+3)dx$ !
Sarebbe tutto piu semplice se quella x non ci fosse...ma purtroppo c'è quindi vi chiedo...avete qualche consiglio da darmi?
Garzie mille
Vito L

Ciao a tutti. Il testo del problema è il seguente:
calcolare con il metodo dei residui il seguente integrale:
$int_{\gamma} f(z)dz$
con $f(z)=1/z+1/(1-z)$
e con $\gamma : |z-1/2|=1$
$\gamma : |z-1|=1/2$
$\gamma : |z-1/2|=1/4$
Per prima cosa, ho riscritto la funzione $f(z)=\frac{1}{z(1-z)}$. Ho trovato in z=0 e in z=1 rispettivamente poli semplici ( del primo ordine).
Successivamente, ho calcolato i residui rispettivamente in z=0 e in z=1, trovano Res(0)=1 e Res(1)=1 ( applicando la formula per il calcolo dei ...
Salve a tutti avevo ancora una volta bisogno d'aiuto con un limite
$lim_(x->0+)(x^2)(6-log^2x)$
mi viene una forma indeterminata e non so come riscriverla.... un imput iniziale? grazoie in anticipo

ciao ragazzi,
ho un dubbio su questa semplice trasformata di fourier.
Semplicemente non capisco l'impostazione.
Dovrei fare due integrali moltiplicati per $e^(2*pi*f*t)$.
Scompone secondo eulero, ma:
=> il seno dell'integrale di destra dove è andato a finire? Perchè fa due volte l'integrale di destra?Forse pertchè la funzione è pari?
grazie a tutti

Ciao, amici!
Trovo scritto che le formule di ortogonalità
$\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)cos(mx)\text{d}x=\int_{-\pi}^{\pi}sin(nx)sin(mx)\text{d}x= {(0,\text{se } m!=n),(\pi,\text{se } m=n!=0):}$
$\int_{-\pi}^{\pi}sin(nx)cos(mx)\text{d}x=0\text{, }AAn \in NN,m\inNN$
valgono per $m,n \in NN$.
Pensando all'espressione degli integrali indefiniti di questi prodotti di funzioni trigonometriche direi che valgano in generale anche se $m,n \in ZZ$... giusto?
$+oo$ grazie a tutti!!!

Salve a tutti, vi chiedo una mano per risolvere quest'esercizio sul teorema di Stokes:
"Dato a > 0, siano F (x, y, z) = (3y, −2xz, x2 − y2) un campo vettoriale e
A = {(x,y,z) ∈ R3 : x2 +y2 +z2 = a2 , z ≥ 0} una semi-sfera. Verificare la validita ́ del Teorema di Stokes per il campo vettoriale F sul dominio A."
Allora in pratica devo provare: $\int int _(+deltaA) w = int _A (rotF, n)$ con n versore normale alla superficie.
Cominciando dalla seconda parte dell'uguaglianza abbiamo: $\ rot F = (2x-2y, -2x, -2z-3)$
Per quanto riguarda ...

Mi sono bloccata su questo esercizio sui complessi...
Fissato $ w in CC $ tale che |w|=1, disegnare nel piano di Gauss l'insieme dei numeri complessi z per cui:
Re(w*z) > |z|/2
Allora io l'ho svolto scrivendomi w e z in forma esponenziale, cioè z=p $ e^(idel z) $ e w=$ e^(idel w) $
quindi z*w= p $ e^(idel z + idel w) $ perciò la parte reale sarebbe p*cos$(del z + del w)$
alla fine mi rimane che il cos$(del z + del w)$ deve essere maggiore di 1/2, quindi negli intervalli tra 0 e π/6 e ...