Analisi matematica di base

salve a tutti mi sono imbattuto in un esercizio svolto e mi sono bloccato ad un passaggio che non mi è chiaro per niente. \(\displaystyle \sin^2(x)=(x-\frac{x^2}{6}+o(x^3))^2=x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4) \) il primo passaggio sarebbe lo sviluppo di Mc Laurin, ma il secondo proprio non l'ho capito. come l'hanno sviluppato il quadrato? grazie per le eventuali risposte.

Salve ragazzi volevo chiedervi un aiuto su un integrale curvilineo di prima specie che non riesco a risolvere Allora: Sia \(\displaystyle \gamma \colon [0,2\pi] \longrightarrow R^3 \) , \(\displaystyle \gamma(t) = (\cos(t), 2\sin(t),1)\) Calcolare: \(\displaystyle \int_\gamma \sqrt[2]{(16x_1^2+x_2^2)} ds\) Quando applico la formula mi viene: \(\displaystyle \int_0^\pi \sqrt[2]{16\cos^2(t)+4\sin^2(t)}*\sqrt[2]{\sin^2(t)+4\cos^2(t)} dt\) Scusate ma gli estremi di integrazione sono da 0 a ...

Salve! Questa sera vi voglio proporre unesercizio che non riesco a fare! È un integrale indefinito da risolvere utilizzando l'integrazione per parti (almeno credo...): $int x^2 ln(2x^2 + 1) dx$ Io ho integrato ponendo: $g(x) = ln(2x^2 + 1) $ $g'(x)= (4x )/(2x^2 + 1) $ $f(x) = x^3/3$ $f'(x)= x^2$ Ed ho ottenuto: $int x^2 ln(2x^2 + 1) dx = x^3/3 ln(2x^2 + 1) - 4/3 int x^4/(2x^2+1)$ A questo punto ho provato ad applicare di nuovo l'integrazione per parti ma non ho ottenuto buoni risultati..

$\int_0^1 (3e^x + e^{2x})(\log (1 + 2e^x))dx$ Ragazzi io avevo pensato di risolverlo per parti, secondo voi?

Salve ragazzi, sto studiando delle cose di fisica e mi ritrovo con questa equazione: $(f_1(x_0+Deltax,y_0,z_0)-f_1(x_0,y_0,z_0))/(Delta x)+(f_2(x_0,y_0+Delta y,z_0)-f_2(x_0,y_0,z_0))/(Delta y)$ $+(f_3(x_0,y_0,z_0+Delta z)-f_3(x_0,y_0,z_0))/(Delta z)+a=b$, dove $a$ e $b$ sono delle costanti. Ora il mio testo di fisica riscrive questa equazione come: $(del f_1)/(del x)+(del f_2)/(del y)+(del f_3)/(del z)+a=b$. Qualcuno può darmi delle delucidazioni su questo passaggio? Grazie.

ciao a tutti ragzzi... Mi trovo davanti a questa funzione per la quale devo fare il polinomio di taylor di grado 9 centrato in 3 $ f(x)=(x-3)^3 log (x-2) $ ora facendone le derivate fino alla 9 viene qualcosa di assurdo da svolgere e da calcolare, Come devo procedere??? Ho fatto la serie di taylor della funzione e mi esce: $ sum_(n = 0 )^(oo) (-1)^n 1/(n+1) (x-3)^(n+4) $ Come procedo???? Grazie mille

Un saluto a tutti i forumisti. Ho qualche perplessità (più di qualche, sono in confusione totale! ) circa le funzioni meromorfe Richiami Teor. (degli zeri di funzioni olomorfe) $Omega sub CC$ aperto connesso; $f in H(Omega)$; $Z(f)={z in Omega | f(z)=0}$. Se $Z(f)$ ammette punti limite in $Omega$ $=>$ $f=0$. Coroll. $Omega sub CC$ aperto connesso; $f in H(Omega)$, $f!=0$. Allora $Z(f)$ è al più ...

Calcolare il seguente integrale curvilineo \(\displaystyle \int_\gamma\frac{e^z}{(z^2+9)(z^2+1)}\text{d}z \) dove la curva \(\displaystyle \gamma \) è definita da \(\displaystyle T =\{ z= x+iy \in C:|x|\le 2, x-2\le y\le x+2\}\), adesso quello che non riesco a capire è il perchè i punti singolari che cadono entro la curva siano \(\displaystyle +i,-i \), inoltre quello che mi interessava sapere è perchè i punti \(\displaystyle +3i, -3i \) non sono compresi nell'insieme visto che il punto più ...

\(\displaystyle f(z)=\frac{\cos(z)}{z^2}+\frac{z-1}{z+5} \) lo sviluppo di Laurent di tale funzione mi è venuto \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n)}{(2n)!}z^{2n-2} +\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z^{n+1}}{5^{n+1}}-\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z^n}{5^{n+1}}\), ora quello che vorrei sapere è come faccio a calcolare il residuo in \(\displaystyle z_0 = 0 \), che so essere un polo di ordine 2, inoltre se io volessi scrivere i primi quattro termini della parte regolare come dovrei procedere? ...

Si consideri la funzione $ f(z)=e^(1/z) $. Dimostrare che l'immagine mediante f di un qualunque disco bucato di centro 0 è $ C-{0} $. Poiché in 0 si ha una singolarità essenziale per dimostrarlo posso applicare il teorema di Picard ossia dire che poiché $ f $ è olomorfa nel campo complesso tranne in 0 dove presenta una singolarità essenziale allora preso un qualunque intorno di 0 allora la nostra $ f $ assume tutti i valore del campo complesso eccetto al più ...

Sia $I=(a,b)\subseteq\mathbb{R}$. Mostrare che $f\in C^k(I)$ sse per ogni $c\in(a,b)$ si può scrivere $f(t)=\sum_{i=0}^k a_i(c)(t-c)^i+o((x-c)^k)$, con gli $a_i(c)$ che sono funzioni continue. A quanto pare l'implicazione più problematica è la $\Leftarrow$.. PS: non conosco nomi per questo lemma, se ne ha uno fatemi sapere

ciao a tutti. vorrei capire meglio quali sono le proprietà delle funzioni localmente integrabili,soprattutto il legame con gli integrali impropri...qualcuno mi puo aiutare? io so che una funzione localmente integrabile è una funzione integrabile su ogni sottoinsieme compatto dell insieme di definizione,giusto?se io ho una funzione continua e integrabile su $RR$ ,definita su tutto $RR$, posso dire che è localmente integrabile su tutto $RR$ ?

trova i valori di $\alpha > 0 $ per cui diverge l'integrale: (se $\alpha$ fosse reale?) $\int_2^oo \frac{1 - \cos (\frac{1}{x^{\alpha}})}{(x-2)^{\alpha + \frac{1}{3}}} dx$ I punti dove ho problemi sono $2$ e $oo$ quindi devo spezzare l'integrale: $\int_2^e \frac{1 - \cos (\frac{1}{x^{\alpha}})}{(x-2)^{\alpha + \frac{1}{3}}} dx + \int_e^oo \frac{1 - \cos (\frac{1}{x^{\alpha}})}{(x-2)^{\alpha + \frac{1}{3}}} dx$ e si posso studiare separatamente, per poi mettere al sistema le soluzioni trovate? Cioè per il primo, se $x->2$ cosa posso dire?

Salve a tutti ragazzi, ho un problema con l'applicazione del criterio della radice ed in particolare con la risoluzione del limite che da questa applicazione deriva. In pratica devo studiare per quali $\x in RR$ $\sum_(n=1)^infty [(n+1)/(xn-1)]^n$ converge. Allora, applicando il criterio della radice faccio il $\lim_(n->infty) (|(n+1)/(xn-1)|^n)^(1/n)=lim_(n->infty) (|(n+1)/(xn-1)|)=lim_(n->infty) (|(n)/(xn)|)=lim_(n->infty) (|1/x|)$ Ora ho qualche dubbio sul passaggio $\lim_(n->infty) (|(n+1)/(xn-1)|)=lim_(n->infty) (|(n)/(xn)|)$. Posso farlo? Mi viene un dubbio pechè se ad esempio x fosse qualcosa tipo 0 non sarebbe poi così facile..almeno ...

\[ \begin{cases} y'=\frac{2}{t}y+2t\sqrt{y} \qquad t>0\\ y(1)=0 \end{cases} \] Discutere esistenza ed unicità delle soluzioni. Allora sia \(f(t,y)=\frac{2}{t}y+2t\sqrt{y}\) e $f_y(t,y)=\frac{2}{t}+\frac{t}{\sqrt{y}}$. Abbiamo che $f$ è continua in \(D=(0,+\infty) \times [0,+\infty)\) mentre $f_y$ non è continua lungo l'asse $y=0$. Di conseguenza abbiamo soltanto dimostrato l'esistenza di almeno una soluzione al PdC ma non è detto che tale soluzione sia unica. Risolvendo ...

Ho difficoltà con questo esercizio. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo Al variare del parametro reale \(\displaystyle \alpha \), determinare il carattere della serie [tex]\displaystyle\sum_{n = 1}^{+\infty }[/tex] [tex]{n}^{n\alpha} \over (3n)![/tex] ho svolto (ma non so se è corretto) [1]\(\displaystyle \alpha=0 \) \(\displaystyle a_n=\frac{1}{(3n)!} \) uso il criterio del rapporto e viene [tex]\left( 1 \over (3n+3)! \right) (3n)![/tex]\(\displaystyle = \) [tex]1 \over ...

Salve a tutti, voglio innanzitutto ringraziare l'intero forum per aver contribuito a farmi passare brillantemente gli esami di analisi 1 e 2 ^^.GRAZIE!! Ora passiamo ai miei "nuovi" problemi. Dato il segnale periodico: $x(t)=2+\sin(0.3t+11°)-\frac{1}{4}\sin(0.6t+21°)+4\cos(1.2t)$ 1- Si determinino i coefficienti della serie esponenziale di Fourier del segnale x(t); 2- Si determini la potenza media del segnale x(t), Allora so che i coefficienti della serie esponenziale si calcolano come: $c_{k}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{-j2\pi\frac{k}{T}t}dt$ Inoltre ho determinato ...

$f(x) = \sqrt{|4 - x^2| + 3x}$ Allora siccome vorrei cavarmela con i moduli, ne propongo un altro. Vado a vedere dove si annulla il modulo $|4 - x^2|$ cioè in $\pm 2$ devo dire: $|4 - x^2| ={(4 - x^2,if -2<=x<=2),(x^2-4,if x<-2 \cup x> 2):}$ Quindi ora ho due funzioni da studiare: $\sqrt{|4 - x^2| + 3x} ={(\sqrt{4 - x^2 + 3x},if -2<=x<=2),(\sqrt{x^2 - 4 + 3x},if x<-2 \cup x> 2):}$ Ad esempio della prima $\sqrt{4 - x^2 + 3x}$ il dominio $4 - x^2 + 3x >= 0$ viene $-1<=x<=4$ ma considerando il dominio del modulo, infine tutto viene $-1<=x<=2$ ? Ovviamente se fosse giusto dovrei fare un discorso analogo a ...

Salve a tutti!!! non riesco a capire come svolgere questo esercizio. Determinare le funzioni u di classe $C^2 (RR^n) $ $n>=2$ della forma \(u(x) = g( \lVert x \rVert)^\alpha \) con $x in RR^n$ $\alpha >1$ e tali che \( \Delta u(x) =\lVert x \rVert^{2\alpha - 1} \) in $B_n$ palla unitaria di $RR^n$ un indizio su come iniziare?

Salve, io avrei un dubbio: ho questa funzione: $f(x,y)= x-e^(-y^2)+1$ , dove $ 0<=x<=e^(-y^2) $ , $y>=0$ e devo mostrare che il gradiente è perpendicolare in ogni punto alla curva $x=e^(-y^2)$ . Qualcuno può darmi un suggerimento su come procedere? Io so che il gradiente è sempre perpendicolare alle curve di livello, ma su $x=e^(-y^2)$ , cioè sulla frontiera, come faccio a dimostrarlo? Poi sempre di questa funzione devo trovare max e min vincolati al dominio, ma quando faccio la ...