Calcolo con il metodo dei residui
Ciao a tutti. Il testo del problema è il seguente:
calcolare con il metodo dei residui il seguente integrale:
$int_{\gamma} f(z)dz$
con $f(z)=1/z+1/(1-z)$
e con $\gamma : |z-1/2|=1$
$\gamma : |z-1|=1/2$
$\gamma : |z-1/2|=1/4$
Per prima cosa, ho riscritto la funzione $f(z)=\frac{1}{z(1-z)}$. Ho trovato in z=0 e in z=1 rispettivamente poli semplici ( del primo ordine).
Successivamente, ho calcolato i residui rispettivamente in z=0 e in z=1, trovano Res(0)=1 e Res(1)=1 ( applicando la formula per il calcolo dei residui nel caso si abbia un polo del primo ordine).
Poi, ho disegnato $\gamma$: nel primo caso, all'interno della circonferenza di centro 1/2 e raggio 1 ho trovato che cadono all'interno entrambi i punti z=0 e z=1. Così per la formula di Cauchy ho che l'integrale vale: $4i\pi$.
Nel secondo caso, nella circonferenza di centro 1 e raggio 1/2, all'interno si trova soltanto il punto 1 -> Res(1)=$2i\pi$
Nell'ultimo caso, nessuno dei punti cade all'interno della circonferenza ( allora il residuo è uguale a 0?).
Non so se sia corretto e/o completo lo svolgimento. Potreste darmi qualche dritta in merito? Sono argomenti con i quali ancora non mi trovo e ho parecchie difficoltà nello svolgere gli esercizi.
p.s. potreste inoltre dirmi come fare a trovare lo sviluppo in serie di Laurent di$f(z)=1/z+1/(1-z)$ in un intorno di ognuna delle singolarità ( 0 e 1) e del punto all'infinito?
Alex
calcolare con il metodo dei residui il seguente integrale:
$int_{\gamma} f(z)dz$
con $f(z)=1/z+1/(1-z)$
e con $\gamma : |z-1/2|=1$
$\gamma : |z-1|=1/2$
$\gamma : |z-1/2|=1/4$
Per prima cosa, ho riscritto la funzione $f(z)=\frac{1}{z(1-z)}$. Ho trovato in z=0 e in z=1 rispettivamente poli semplici ( del primo ordine).
Successivamente, ho calcolato i residui rispettivamente in z=0 e in z=1, trovano Res(0)=1 e Res(1)=1 ( applicando la formula per il calcolo dei residui nel caso si abbia un polo del primo ordine).
Poi, ho disegnato $\gamma$: nel primo caso, all'interno della circonferenza di centro 1/2 e raggio 1 ho trovato che cadono all'interno entrambi i punti z=0 e z=1. Così per la formula di Cauchy ho che l'integrale vale: $4i\pi$.
Nel secondo caso, nella circonferenza di centro 1 e raggio 1/2, all'interno si trova soltanto il punto 1 -> Res(1)=$2i\pi$
Nell'ultimo caso, nessuno dei punti cade all'interno della circonferenza ( allora il residuo è uguale a 0?).
Non so se sia corretto e/o completo lo svolgimento. Potreste darmi qualche dritta in merito? Sono argomenti con i quali ancora non mi trovo e ho parecchie difficoltà nello svolgere gli esercizi.
p.s. potreste inoltre dirmi come fare a trovare lo sviluppo in serie di Laurent di$f(z)=1/z+1/(1-z)$ in un intorno di ognuna delle singolarità ( 0 e 1) e del punto all'infinito?
Alex
Risposte
I primi 2 integrali sono giusti, l'ultimo è $0$ perchè la curva e chiusa e non contiene nessun punto singolare
Quindi è corretto lo svolgimento? Non occorre fare altro, vero? Mi sono perso con i vari percorsi da considerare qualora i punti si trovino sul contorno che ho perso anche la certezza di quel poco che avevo capito. Per l'altro punto ( il post scriptum) sa come si dovrebbe svolgere? Ancora non mi è chiaro come scrivere la serie di Laurent di una funzione...non banale! Grazie per la risposta.
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