Aiuto. Serie numerica con parametro. Tema esame

[21zuclo]

Ho difficoltà con questo esercizio. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo

Al variare del parametro reale \(\displaystyle \alpha \), determinare il carattere della serie [tex]\displaystyle\sum_{n = 1}^{+\infty }[/tex] [tex]{n}^{n\alpha} \over (3n)![/tex]

ho svolto (ma non so se è corretto)

[1]\(\displaystyle \alpha=0 \)

\(\displaystyle a_n=\frac{1}{(3n)!} \) uso il criterio del rapporto e viene [tex]\left( 1 \over (3n+3)! \right) (3n)![/tex]\(\displaystyle = \) [tex]1 \over (3n+3)(3n+2)(3n+1) (3n)![/tex]\(\displaystyle (3n)!\sim\frac{1}{27n^3} \)

[tex]\displaystyle\sum {1 \over 27{n}^{3} }[/tex] CONVERGE

[2]\(\displaystyle \alpha>0 \)

\(\displaystyle \frac{(n+1)^{(n+1)\alpha}}{(3n+3)!}\frac{(3n)!}{n^{n\alpha}}=\frac{(n+1)^{n\alpha}(n+1)^\alpha}{n^{n\alpha}}\frac{1}{27n^3}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n\alpha}\frac{(n+1)^\alpha}{n}\frac{1}{27n^3} \)

NON so più andare avanti.. come fare?

[ciampax]

In realtà ti basta fare quello che fai al caso 2 per avere tutte le informazioni necessarie (anche se $\alpha<0$ va bene). Col criterio del rapporto arrivi a (attento che hai una $n$ di troppo)

$(1+1/n)^{n\alpha}\cdot {(n+1)^\alpha}/{27n^3}\sim e^\alpha\cdot n^\alpha/{27 n^3}=e^\alpha/{27}\cdot n^{\alpha-3}$

e da qui dovresti essere in grado di concludere.

[21zuclo]

grazie! eh sì..ecco perchè non mi trovavo più..ho lasciato un \(\displaystyle n \) di troppo!.. quello per lo pìù mi bloccava!..Grz cmq..