Funzioni localmente integrabili

[pier c4]

ciao a tutti. vorrei capire meglio quali sono le proprietà delle funzioni localmente integrabili,soprattutto il legame con gli integrali impropri...qualcuno mi puo aiutare? io so che una funzione localmente integrabile è una funzione integrabile su ogni sottoinsieme compatto dell insieme di definizione,giusto?se io ho una funzione continua e integrabile su $RR$ ,definita su tutto $RR$, posso dire che è localmente integrabile su tutto $RR$ ?

[gugo82]

Certo.

Ma sono localmente integrabili anche tante funzioni che non sono globalmente integrabili.
Ad esempio, la funzione \(f(x)=x\) è localmente integrabile in \(\mathbb{R}\) (poiché è continua, dunque integrabile sui compatti), però non è integrabile in \(\mathbb{R}\) (poiché \(\int_{-\infty}^\infty f(x)\ \text{d} x=\lim_{r,R\to +\infty} \int_{-r}^Rf(x)\ \text{d} x\) non è finito).

Analogamente la funzione:
\[
f:]-1,1[\ni x\mapsto \frac{1}{1-x^2} \in \mathbb{R}
\]
è localmente integrabile in \(]-1,1[\) (poiché, essendo continua in \(]-1,1[\), è integrabile in ogni compatto contenuto in \(]-1,1[\)), ma non è integrabile in \(]-1,1[\) (poiché il suo integrale \(\int_{-1}^1 f(x)\ \text{d} x= \lim_{r,R\to 0^+} \int_{-1+r}^{1-R} f(x)\ \text{d} x\) non è finito).

[pier c4]

grazie mille, chiaro ed esauriente!