Serie di funzioni con parametro
$sum_(n=0)^(+oo) x^2/(x^a+n^a)$ $AA x in R^+$ e $AA a in R^+$
il termine generale è asintotico a $x^2/n^a$ e la serie converge puntualmente per a>1
per la convergenza uniforme ho calcolato la derivata prima che si annulla in $ root(a)((-2n^a)/(2-a)) $.questo è un massimo per a>2?
il termine generale è asintotico a $x^2/n^a$ e la serie converge puntualmente per a>1
per la convergenza uniforme ho calcolato la derivata prima che si annulla in $ root(a)((-2n^a)/(2-a)) $.questo è un massimo per a>2?
Risposte
Ma dai, è uno studio di funzione. Non ti puoi impappinare su una cosa del genere, con l'esame che devi dare. Studia il segno della derivata prima e capisci la natura di quel punto critico, dov'è il problema? Ti basta ragionare con maggiore attenzione, distinguendo i tre casi \(a <2, a=2, a>2\).
se a=2 la derivata prima è sempre positiva , $lim_(x to +oo)x^2/(x^2+n^2)=1$ $sum_(n=0)^(+oo)$sup$_(x in R^+) x^2/(x^2+n^2)$$<=sum_(n=0)^(+oo) 1/(1+n^2)$ che converge
se a>2 ho un massimo in $ root(a)((2n^a)/(a-2)) $ e posso maggiorare con k $sum_(n=0)^(+oo) 1/(n^(a-2))$ che converge perchè a>2 ( k è una costante dipendente da a)
(Questa risposta è riferita al caso \(a=2\).)
Tutto sbagliato: sia i conti sia il concetto. Come se non bastasse, non hai neanche concluso nulla, hai solo sparato dei conti a casaccio.
Per \(a=2\) calcola bene il sup del termine generale. Se la derivata prima è sempre positiva e il limite a \(+\infty\) è \(1\) vuol dire che il sup è \(1\). Ma allora cosa puoi dire della convergenza uniforme della serie assegnata? (Risp.: Proprio nulla). Cosa puoi dire della convergenza totale della serie assegnata? (Risp.: La serie non converge totalmente in \([0, +\infty)\).
Ragiona bene su queste cose e falle tue, prima di continuare l'esercizio.
Per il caso \(a>2\) hai fatto dei conti, ok. Cosa puoi concludere?
Tutto sbagliato: sia i conti sia il concetto. Come se non bastasse, non hai neanche concluso nulla, hai solo sparato dei conti a casaccio.
Per \(a=2\) calcola bene il sup del termine generale. Se la derivata prima è sempre positiva e il limite a \(+\infty\) è \(1\) vuol dire che il sup è \(1\). Ma allora cosa puoi dire della convergenza uniforme della serie assegnata? (Risp.: Proprio nulla). Cosa puoi dire della convergenza totale della serie assegnata? (Risp.: La serie non converge totalmente in \([0, +\infty)\).
Ragiona bene su queste cose e falle tue, prima di continuare l'esercizio.
Per il caso \(a>2\) hai fatto dei conti, ok. Cosa puoi concludere?
la serie converge totalemente se converge $sum_(n=0)^(+oo) $sup$_(x in I) |f_n(x)|$
se esiste una successione $c_n$ tale che $|f_n(x)|<=c_n AAx in I$ che è convergente la serie data converge totalemente in I
ora sia per a=2 che per a>2 non l'ho trovata?
se esiste una successione $c_n$ tale che $|f_n(x)|<=c_n AAx in I$ che è convergente la serie data converge totalemente in I
ora sia per a=2 che per a>2 non l'ho trovata?
ho capito : per a=2 non converge totalmente però potrebbe farlo uniformemente
per a=2 devo vedere se converge la successione delle somme parziali?
Per \(a>2\) si, ma per \(a=2\) non hai trovato proprio un bel niente. Leggi con attenzione il mio post precedente.
Comunque, hai le idee confuse e ti esprimi molto male. Cerca di lavorare su questo. Hai scritto due volte la definizione di serie totalmente convergente, perché? E perché tutta questa sciatteria nei tuoi post? Scrivi bene.
PS.: Questo messaggio è riferito al tuo terzultimo.
Comunque, hai le idee confuse e ti esprimi molto male. Cerca di lavorare su questo. Hai scritto due volte la definizione di serie totalmente convergente, perché? E perché tutta questa sciatteria nei tuoi post? Scrivi bene.
PS.: Questo messaggio è riferito al tuo terzultimo.
"gbspeedy":
per a=2 devo vedere se converge la successione delle somme parziali?
No, questo è di solito un compito molto difficile. Cerca di capire se c'è convergenza totale in qualche sottoinsieme di \([0, +\infty)\).
cerco di spiegarmi meglio e grazie per i consigli (ne faccio davvero tesoro)
gli intervalli del tipo $[b,+oo)$ con b>0 non vanno bene perchè il sup è ancora 1
posso prendere quelli tipo (0,b) b>0 e quindi avrei sup=$b^2/(b^2+n^2)$ termine generale di serie convergente
gli intervalli del tipo $[b,+oo)$ con b>0 non vanno bene perchè il sup è ancora 1
posso prendere quelli tipo (0,b) b>0 e quindi avrei sup=$b^2/(b^2+n^2)$ termine generale di serie convergente
per a>2 $x= root(a)((2n^a)/(a-2))$ è punto di massimo
il sup $_(x in R^+) x^2/(x^a+n^a)$=$K 1/(n^(a-2))$ (K costante positiva) termine generale serie convergente per a>3
quindi la mia serie converge totalmente e quindi uniformemente in $R^+$ per a>3
per a=2 ho la convergenza uniforme in (0,M] con M>0 xchè il sup $_(x in R^+) x^2/(x^a+n^a)$=$M^2/(M^2+n^2)$ termine generale serie convergente
per 10 e quindi è come nel caso a=2
puoi dirmi se è giusto?
il sup $_(x in R^+) x^2/(x^a+n^a)$=$K 1/(n^(a-2))$ (K costante positiva) termine generale serie convergente per a>3
quindi la mia serie converge totalmente e quindi uniformemente in $R^+$ per a>3
per a=2 ho la convergenza uniforme in (0,M] con M>0 xchè il sup $_(x in R^+) x^2/(x^a+n^a)$=$M^2/(M^2+n^2)$ termine generale serie convergente
per 1
puoi dirmi se è giusto?
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