Interpretazione ordine della derivata in trasf. di Laplace

[lucamennoia]

Salve a tutti, esercitandomi ho trovato un esercizio particolarmente ostico in cui non riesco a calcolare la trasformata di Laplace correttamente.

Ho la funzione \(\displaystyle h(t)=\frac{sin(2t)}{t} \) e devo calcolare \(\displaystyle \mathcal{L}\{h(t)\} \)

ho iniziato in questo modo:
\(\displaystyle \mathcal{L}\{\frac{sin(2t)}{t}\}=\mathcal{L}\{t^{-1}sin(2t)\} \)

e secondo questa proprietà delle trasformate \(\displaystyle f(t)=t^ng(t) \rightleftharpoons F(s)=(-1)^n\frac{\partial^nG(s)}{\partial s^n} \)

dovrei calcolare la derivata all'ordine -1 ed esattamente qui c'è il dubbio poiché considerando che la derivata di ordine zero sarebbe la funzione non derivata, tutte le derivate con ordine negativo logicamente dovrebbero rappresentare degli integrali, quindi domanda: devo calcolare l'integrale di F(s) ? Se no, come faccio a continuare?

[gugo82]

Ovviamente quella formula la puoi applicare solo se \(n\in \mathbb{N}\), il che esclude il tuo caso.

Per risolvere l'esercizio basta conoscere le trasformata di \(\operatorname{sinc} t:=\frac{\sin t}{t}\) e la proprietà di riscalamento della trasformata: infatti hai:
\[
\begin{split}
\mathcal{L}\left[ \frac{\sin 2t}{t}\right](s) &= 2\ \mathcal{L} [\operatorname{sinc} (2t)](s) &\qquad \text{(per linearità)}\\
&= \cancel{2}\ \frac{1}{\cancel{2}}\ \mathcal{L}[\operatorname{sinc} t]\left( \frac{s}{2}\right) &\qquad \text{(per riscalamento)}\\
&= \mathcal{L}[\operatorname{sinc} t]\left( \frac{s}{2}\right) &
\end{split}
\]
quindi basta calcolare \(\mathcal{L}[\operatorname{sinc} t]\).

[lucamennoia]

maledizione la sinc! é vero! Non l'avevo notata! Grazie mille