Derivate normali di ordine superiore

[dissonance]

C'è una formula sul libro di Evans, a pagina 233 della seconda edizione, che non riesco a capire: è assegnata una funzione regolare \(u\) in \(\mathbb{R}^n\) e una ipersuperficie liscia \(\Gamma\), il cui versore normale è denotato con \(\nu\). Il libro definisce \(j\)-esima derivata normale di \(u\) in \(x^0\in \Gamma\) la cosa seguente:

\[\tag{1} \frac{\partial^j u }{\partial \nu^j}=\sum_{\lvert \alpha \rvert =j} \begin{pmatrix}j \\ \alpha \end{pmatrix}D^\alpha u \nu^\alpha=\sum_{\alpha_1+\dots+\alpha_n=j}\begin{pmatrix}j \\ \alpha\end{pmatrix}\frac{\partial^j u}{\partial^{\alpha_1}x_1 \ldots \partial^{\alpha_n}x_n}\nu_1^{\alpha_1}\ldots\nu_n^{\alpha_n}.\]

Ecco, lui la butta lì come definizione, ma mi pare un colpo basso: andrebbe motivata un po' questa formula... Da dove esce?

C'è un operatore di derivata normale, che è

\[\left. \frac{\partial}{\partial \nu}\right|_{x^0}u=Du(x^0)\cdot \nu(x^0), \]

ma non capisco come ottenere la (1) iterando \(j\) volte tale operatore. Mi dareste una mano, per favore?

Grazie.

[dissonance]

Ah ecco, ho trovato. Quella non è altro che la \(j\)-esima derivata della funzione \(h \mapsto u(x^0+h\nu(x^0))\), (come era ovvio, del resto), cioè la derivata direzionale presa \(j\) volte lungo la direzione di \(\nu(x^0)\). Quei coefficienti multinomiali fanno paura ma in realtà lì c'è scritto esattamente questo:

\[\sum_{i_1, i_2, \ldots i_j=1}^n \frac{\partial^j u}{\partial x_{i_1} \ldots \partial x_{i_j}} \nu_{i_1} \ldots \nu_{i_j}.\]

Vedete che succede a non sapere l'algebra, mannaggia a me.