Analisi matematica di base
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Qualcuno può indicarmi quale è l'iter migliore da seguire per l'individuazione dei punti di non derivabilità?
Stavo provando a dimostrare la seguente
$d^n(f((x))= (df)^n$
procedendo per induzione. Per $n=1$ è vero. Passo
$d^n(f(x)) = d(d^(n-1)f(x))=d((d(f(x))^(n-1))=(n-1) (df(x))^(n-2) d^2 f(x) = (n-1) (df(x))^(n-2) (df(x))^2 $ $=(n-1) (df(x))^n$
Mi stupisce quel fattore (n-1)...dove sbaglio?
Sto facendo vari esercizi sugli spazi di Hilbert, avrei un dubbio un pò generale.
Molti esercizi mostrano dei sottoinsiemi di $L^2$ e chiedono se sono chiusi, compatti, ecc..
la mia domanda è: per dimostrare la chiusura di un insieme (solitamente definito in base alla proprietà delle funzioni suoi elementi) posso mostrare che il complementare è aperto? Ovvero mostrare che esiste una successione non di quell insieme che converge a una funzione di quell' insieme? Questo ragionamento ...
Salve a tutti, ho una funzione
\(\displaystyle f(x)=\frac{1+\sqrt[3]{x}}{2-\sqrt[3]{x}} \)
di cui devo disegnare il grafico, studiandola. Per la derivata prima non ho problemi e mi torna
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}(2-\sqrt[3]{x})^2} \)
Dovrei calcolare la derivata seconda per lo studio di concavità, convessità e flessi, ma non mi riesce proprio farla, ho usato la regola della derivata di un quoziente (va bene vero?), vi giuro che ho riempito pagine e pagine di quaderno... ...
HO LA SEGUENTE FUNZIONE
f(x)=$x^x$+x-$\pi$
l'esercizio dice di VERIFICARE CHE LA FUNZIONE SI ANNULLA ALMENO IN UN PUNTO
no riesco ad applicare il teorema degli zeri.
Salve a tutti ragazzi, ho parecchi dubbi sul come muovermi nella ricerca di massimi e minimi relativi di funzioni come
f(x,y)=(x^2+y^2-2)*e^(x^2+y^2-2)... Applicando la teoria si trova in (0,0) un massimo relativo, ma gli altri punti in cui si annullano le derivate parziali prime hanno hessiano nullo e non potendo applicare il metodo grafico (lo studio del segno nell'intorno di ogni punto) non so proprio come agire... Ho letto un pò su internet e ho visto che alcuni suggeriscono di studiare ...
La funzione è $F(x,y,z) = x^2-y^2+z^2$ con l'insieme $S = x^2 + y^2 + z^2 <= 1$
$\nabla F = (2x, -2y, 2z)$
che si annulla nel punto $(0,0,0)$ e facendo l'hessiano potrei scoprire la natura di tal punto critico in $x^2 + y^2 + z^2 < 1$.
Però se il $\nabla F \ne 0$ e questo avviene in $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ il prof ha detto che la questione si risolve con questo sistema:
$\{(2x = 2 \lambda x),(-2y = 2\lambda y ),(2z = 2 \lambda z):}$ perchè non considerare nel sistema $x^2 + y^2 + z^2 = 1$
?
Buonasera a tutti,
vi sottopongo la seguente questione.
Data una funzione [tex]f:[t_0,t_f]\times \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^m[/tex], definito un prodotto scalare [tex][/tex] su [tex]\mathbb{R}^m[/tex] e denotata con [tex]||\cdot||[/tex] la norma indotta da esso, un numero reale [tex]M[/tex] si dice costante di Lipschitz di destra per f se vale che:
[tex]< f(t,y)-f(t,z),y-z > \leq M||y-z||^2,\quad \forall t\in [t_0,t_f],\;\forall y,z\in\mathbb{R}^m[/tex].
Devo provare che ...
Ciao a tutti, non riesco a capire un esercizio sulle serie:
Trovare il raggi odi convergenza della serie: $\sum_(k=1)^(\infty)(k!x^k)/k^k$, ho letto un appunto dove diceva che in caso di serie contenenti termini fattoriali, per calcolarne la convergenza è spesso una buona cosa optare per il criterio del rapporto!
Quindi io ci provo: $lim_(k\to\infty)((k+1)!x^(k+1))/(k+1)^(k+1) : (k!x^k)/k^k = lim_(k\to\infty)((k+1)xk^k)/(k+1)^(k+1) = lim_(k\to\infty)(k^k*x)/(k+1)^k$ ... ora, posto $c_n = k^k/(k+1)^k$,
posso applicare di nuovo il metodo della radice a $c_n$? $lim_(k\to\infty)root(k)(k^k/(k+1)^k) = 1/(k+1) = 0$ ?
oppure devo fare così: ...
Come esercizio , ho provato a mostrare che
Non esiste $lim_{x->+\infty} (x/(x+1))*cos(x^2)$.
Faccio Uso del seguente teorema :
Sia $f : A -> RR$ , $x_0 \in Dr(A)$ e supponiamo che $lim_(x->x_0)f(x)=l$
Supponiamo che $EE (x_n)_(n \in NN) \: x_n \in A , x_n !=x_0 \: t.c x_n -> x_0 \: per \: n -> +\infty$. Allora $lim_nf(x_n)=l$
Considero due successioni del tipo $x_n = sqrt(\pi k) , k \in \mathbb{N}$ ed $y_n = sqrt((\pi/2)k) , k \in \mathbb{N}$.
Sia $x_n -> +\infty$ per $k->+\infty$ che $y_n -> +\infty$ per $k -> +\infty$.
Ho che $f(x_n) =- sqrt(\pi k) / (sqrt(\pi k) +1)$ , $f(y_n) = 0$
Per $k -> +\infty$ ho da una parte ...
Esercizio: Sia $f: [0,1] \rightarrow [0, oo)$ una funzione R-integrabile su ogni sottointervallo chiuso di $(0,1]$. Mostrare che $f$ è L-integrabile su $[0,1]$ se e solo se \[ \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{1} f(x) dx \;\; \in \mathbb{R} \]
Svolgimento:
[size=85]Indico con \( \displaystyle \int_{[a,b]} \) l'integrale di Lebesgue e con $\int_a^b$ quello di Riemann.[/size]
Sia $\mu$ la misura di Lebesgue su $\mathbb{R}$. Supponiamo che valga \[ ...
Salve ragazzi,
sono alle prese con questo esercizio:
Determinare tutte le funzioni $f:RR\to RR$ continue tali che, $\forall x,y\in RR$, $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
1° PASSO. Provo che $\forall n\in NN$, $\forall x\in \mathbb{R}$, si ha
\[\qquad f(nx)=nf(x)\tag{1}\]
(lo dimostro facilmente per induzione su $n$).
2° PASSO. Dimostro che la $(1)$ vale anche se $n\in ZZ\setminus NN$ (è facile provare che $f$ è dispari - il che si deduce anche dal fatto che ...
buongiorno
ho qualche dubbio sulla risoluzione di tale eq. differenziale:
$y' = y/x + 2x sqrt(x) sqrt(y)$ con $y(1)=0$
$(y')/sqrt(y) = y/sqrt(y) 1/x + 2 x sqrt(x)$
pongo:
$z = y/sqrt(y) = sqrt(y)$
$z' = 1/(2*sqrt(y))$
riscrivo l'eq diff iniziale in questo modo:
$(y')/(2*sqrt(y)) = y/(2*sqrt(y)) 1/x + x sqrt(x)$
lo vado a risolvere con la diretta espressione:
$y(x) = e^(\int_{x_0}^{x} (a(t) dt)) (y_0 + \int_{x_0}^{x} e^(-\int_{x_0}^{s} (a(s) ds)) b(t) dt)$
svolgendo ho:
$y(x) = e^((1/2)*(log x - log x_0)) (y_0 + \int_{x_0}^{x} (t sqrt(t))/(2*(log t - log x_0)) dt)$
insomma ponendo i valori di cauchy dati....non riesco a decomporre l'integrale tra parentesi *_* ovvero questo:
$\int_{1}^{x} (t sqrt(t))/(2*(log t)) dt$
dove è l'errore? ...
ho un problema con questo esercizio che sul alcune parti non è complesso e penso di avero svolto correttamente ma sul finale mi suscita alcune perplessità:
$f:[0,1] \rightarrow \mathbb R$ definita come
$$
f(x)=
\begin{cases}
x^2 \cos\left(\frac{1}{x^2}\right), \qquad x\neq 0\\
0 , \qquad\qquad\qquad \text{elsewhere}
\end{cases}
$$
devo dimostrare che la funzione è derivabile,$f'$ non è integrabile e, relativamente $f$ non è ...
Vorrei capire come mai non è sommabile e perché come distribuzione (suppongo \(\lambda \in \mathbb{N}\))
\[
\langle f_{\lambda} ,\varphi \rangle \rightarrow \langle \delta , \varphi \rangle \mbox{ per } \lambda \rightarrow \infty
\]
A causa della parità, per lo studio della convergenza possiamo limitarci a considerare il secondo membro di
\[
\frac{1}{2}\int |f_{\lambda}(x)|\mbox{d}x=\int_{0}|f_{\lambda}(x)|\mbox{d}x
\]
Riassumendo dall'esercizio svolto
\[
\int_{0}|f(x)|\mbox{d}x
\geq
\lim_{n ...
Come da titolo, vorrei che qualcuno mi illustrasse come studiare un insieme numerico. Premetto che non so da dove iniziare, quindi non posso nemmeno fare dei tentavivi. Da dove dovrei partire? Devo per prima trovare la crescenza o descrescenza? Oppure devo trovare prima l'estremo superiore e/o inferiore? Posso risolverla attraverso un'analoga funzione reale di variabile reale fissato $x>=0$? Consideriamo ad esempio queste successioni:
1) $E={(k^2-3k+2)n e^(((-1)^n)n+1) : n in N}$ , al variare di ...
Ciao a tutti. Qualcuno sa aiutarmi a risolvere questo limite ?
$ lim_(x -> 0) ln(1-cos3x)/ln(arctgx^2) $
Con il principio di sostituzione degli equivalenti, ho sostituito $ 1-cos3x $ con $ 1/2 9x^2 $ e $ arctgx^2 $ con $ x^2 $ ma non so andare avanti, dovrebbe venire 1.
Grazie
$f(x,y) = y$ con $S = {(x,y) \in R^2: G(x,y) = \log (1 + x^2) + \arctan (y^2) <= \pi/4}$
Allora $\grad f = (0,1) \ne (0,0)$ per quale motivo se il gradiente della funzione è diverso da zero devo andare a cercare i punti di massimo o di minimo sul bordo di $S$? mentre se è uguale a zero devo procedere con la matrice hessiana?
$\{(0 = \lambda (2x)/(1 + x^2)),(1 = \lambda (2y)/(1 + y^2)),(\log (1 + x^2) + \arctan (y^2) = \pi/4):}$
e come lo risolvo?
Grazie mille
Disequazione elementare
$ 4arccosx - pi > 0 $
$ 4arccosx > pi $
$ arccosx > pi/4 $
$ cos(arccosx) > cos(pi/4) $
$ x > sqrt2/2 $
invece deve venire $ x < sqrt2/2 $ , perché?
Grazie.
Calcolare il flusso del campo vettoriale F(x,y,z) = ( $ 2x^2y+z^4, x^4- 2xy^2, 1/6z^6 - x^2y^2 $)
uscente dal bordo dell'insieme D = { (x,y,z) ( $ in $ R : $ $ $ 1<=x^2 +y^2 + z^2<=2 $ , $ z>= 0 $}
Io ho provveduto col metodo della divergenza che risulta essere $ z^5 $.
Però, non so come svolgere l'integrale triplo, perchè passando a coordinate polari mi viene qualcosa di troppo complicato..suggerimenti?
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