Punti di Non Derivabilità: Iter da seguire
Qualcuno può indicarmi quale è l'iter migliore da seguire per l'individuazione dei punti di non derivabilità?
Risposte
"Guardare cosa hai scritto davanti agli occhi" è il miglior consiglio che ti possa esser dato, in mancanza di un esempio.
Il reale problema è che in un test hai precisamente 2 minuti per decidere quale risposta dare, e non è così scontato.
Comunque faccio un esempio, abbiamo:
$f(x)=cossqrt(|x|)$
allora sono abbastanza sicuro che
$f'(x)=-sinsqrt(|x|)*1/(2sqrt|x|)*sgn(x)$ oppure $f'(x)=-sinsqrt(|x|)*1/(2sqrt|x|)*|x|/x$
secondo la soluzione prima di tutto la derivata è:
$f'(x)=(-xsin(x^(2/4)))/(2(x^2)^(3/4))$
prima di iniziare a fare un discorso sul punto di non derivabilità, che dovrebbe esere 0, come mai questa differenza nelle soluzioni?
Comunque faccio un esempio, abbiamo:
$f(x)=cossqrt(|x|)$
allora sono abbastanza sicuro che
$f'(x)=-sinsqrt(|x|)*1/(2sqrt|x|)*sgn(x)$ oppure $f'(x)=-sinsqrt(|x|)*1/(2sqrt|x|)*|x|/x$
secondo la soluzione prima di tutto la derivata è:
$f'(x)=(-xsin(x^(2/4)))/(2(x^2)^(3/4))$
prima di iniziare a fare un discorso sul punto di non derivabilità, che dovrebbe esere 0, come mai questa differenza nelle soluzioni?
Quale differenza? A me sembrano la stessa cosa.
probabilmente sono io a non coglierla?
Basta osservare che
\[
x^{2/4} = \sqrt[4]{x^2} = \sqrt{|x|}, \qquad
(x^2)^{3/4} = \sqrt[4]{(x^2)^3} = \sqrt[4]{x^6} = \sqrt{|x|^3} = |x| \sqrt{|x|}.
\]
\[
x^{2/4} = \sqrt[4]{x^2} = \sqrt{|x|}, \qquad
(x^2)^{3/4} = \sqrt[4]{(x^2)^3} = \sqrt[4]{x^6} = \sqrt{|x|^3} = |x| \sqrt{|x|}.
\]
scusate se mi intrometto ma interessa anche a me l'argomento 
dopo aver fatto la derivata della funzione va fatto il dominio della derivata, giusto? dopodichè come si procede?
dopo aver fatto la derivata della funzione va fatto il dominio della derivata, giusto? dopodichè come si procede?
"Flamber":
faccio un esempio, abbiamo:
$f(x)=cos sqrt(|x|)$
Benissimo.
Sappiamo che la funzione \(f\) è definita in tutto \(\mathbb{R}\) ed ivi continua (per essere composta da funzioni continue); inoltre si ha:
\[
f(x):= \begin{cases} \cos \sqrt{x} &\text{, se } x\geq 0\\
\cos \sqrt{-x} & \text{, se } x<0
\end{cases}
\]
e da ciò si desume immediatamente che \(f\) è derivabile in \(\mathbb{R}\setminus \{0\} =]-\infty ,0[\cup ]0,+\infty[\) (poiché composta, in ognuno di tali intervalli aperti, da funzioni derivabili).
Conseguentemente, l'unico punto "problematico" per quanto riguarda la derivabilità è il punto \(0\), che è di raccordo tra due espressioni analitiche distinte di \(f\).
Per vedere se \(f\) è derivabile in \(0\) basta andare a guardare come si comporta il rapporto incrementale: si ha:
\[
\lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0^+} \frac{\cos \sqrt{x}-1}{x} = -\frac{1}{2} \qquad \text{e} \qquad \lim_{x\to 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0^-} \frac{\cos \sqrt{-x}-1}{x} = \frac{1}{2}
\]
quindi la \(f\) non è derivabile in \(0\). Più precisamente, essendo le derivate destra e sinistra di \(f\) finite in \(0\), il punto di ascissa \(0\) è un punto angoloso per il diagramma del grafico di \(f\).
La derivata di \(f\) è allora la funzione:
\[
f^\prime (x) = \begin{cases} - \frac{1}{2\sqrt{x}}\ \sin \sqrt{x} &\text{, se } x> 0\\
\frac{1}{2\sqrt{-x}}\ \sin \sqrt{-x} & \text{, se } x<0
\end{cases}
\]
la quale si può riscrivere in maniera sintetica come:
\[
f^\prime (x) = \frac{-\operatorname{sign} x}{2\sqrt{|x|}}\ \sin \sqrt{|x|}\; .
\]
*** EDIT: Corretti un paio di errori qui e là.
"gugo82":
[quote="Flamber"]faccio un esempio, abbiamo:
$f(x)=cos sqrt(|x|)$
Benissimo.
Sappiamo che la funzione \(f\) è definita in tutto \(\mathbb{R}\) ed ivi continua (per essere composta da funzioni continue); inoltre si ha:
\[
f(x):= \begin{cases} \cos \sqrt{x} &\text{, se } x\geq 0\\
\cos \sqrt{-x} & \text{, se } x<0
\end{cases}
\]
e da ciò si desume immediatamente che \(f\) è derivabile in \(\mathbb{R}\setminus \{0\} =]-\infty ,0[\cup ]0,+\infty[\) (poiché composta, in ognuno di tali intervalli aperti, da funzioni derivabili).
[/quote]
come facciamo a sapere che è derivbaile in questi intervalli?
EDIT---
come facciamo a sapere che le funzioni che la compongono sono derivabili in tali intervalli?
Non sai che il coseno è derivabile in tutto \(\mathbb{R}\) e che la radice è derivabile in \(]0,+\infty[\)?
Questa è una cosa dimostrata in tutti i libri di Analisi I, quindi anche nel tuo: leggilo.
Questa è una cosa dimostrata in tutti i libri di Analisi I, quindi anche nel tuo: leggilo.
"gugo82":
Non sai che il coseno è derivabile in tutto \(\mathbb{R}\) e che la radice è derivabile in \(]0,+\infty[\)?
Questa è una cosa dimostrata in tutti i libri di Analisi I, quindi anche nel tuo: leggilo.
si nel caso del coseno e della radice è banale la dimostrazione
in generale come si fa a vedere la derivabilità della funzione...in poche parole la mia domanda vuole essere: qual è la strategia per capire in quale punto della funzione va studiata la derviabilità?
La derivabilità di una funzione elementare la sai "predire" usando i risultati sulla derivabilità delle funzioni elementari standard ed i teoremi sulle derivate.
Dove quei teoremi falliscono ci può essere qualche problema; quindi si deve controllare cosa succede ai rapporti incrementali.
Nel caso in esame, i teoremi fallivano nel punto \(0\); controllando i rapporti incrementali, abbiamo mostrato che la funzione non era derivabile in \(0\).
Prova tu a fare da solo lo studio della derivabilità della funzione:
\[
f(x):= (x^2-1)^2\ \sin \left( \frac{1}{x^2-1}\right)\; .
\]
Dove quei teoremi falliscono ci può essere qualche problema; quindi si deve controllare cosa succede ai rapporti incrementali.
Nel caso in esame, i teoremi fallivano nel punto \(0\); controllando i rapporti incrementali, abbiamo mostrato che la funzione non era derivabile in \(0\).
Prova tu a fare da solo lo studio della derivabilità della funzione:
\[
f(x):= (x^2-1)^2\ \sin \left( \frac{1}{x^2-1}\right)\; .
\]
sono i punt 1 e -1 ? ho notato che il denominatore del seno si annullava nel punto in cui $x^2=1$ quindi i punti di non derivabilità sono -1 ed 1....
ma in questo caso i punti di non derivabilità coincidono con i punti in cui la funzione non esiste, ergo vanno cercati nel dominio??
ma in questo caso i punti di non derivabilità coincidono con i punti in cui la funzione non esiste, ergo vanno cercati nel dominio??
Ma perché non cerchi di scrivere le cose in maniera organica?
Così cerchi anche di dissipare la confusione che hai in testa.
Così cerchi anche di dissipare la confusione che hai in testa.
"gugo82":
Ma perché non cerchi di scrivere le cose in maniera organica?
Così cerchi anche di dissipare la confusione che hai in testa.
scusa cosa c'è di poco chiaro in quello che ho scritto?
"splacchj":
[quote="gugo82"]Ma perché non cerchi di scrivere le cose in maniera organica?
Così cerchi anche di dissipare la confusione che hai in testa.
scusa cosa c'è di poco chiaro in quello che ho scritto?[/quote]
Tutto.
Come si fa quell'esercizio?
Innanzitutto, si determina l'insieme di definizione della funzione; poi se ne studiano la continuità e le discontinuità, eliminando quelle eliminabili (se ce ne sono); della funzione prolungata per continuità, si determina dove essa è derivabile con l'ausilio della teoria e, ove non è possibile, si va a guardare cosa fanno i rapporti incrementali.
Nel tuo post non c'è nulla del genere.
Scrivere in maniera sistematica gli esercizi aiuta a fare chiarezza.
Non sottovalutare l'importanza dell'ordine.
allora il DOMINIO di questa funzione è $x in RR {-1,1}$
quindi in porssimità dei punti 1 e -1 si avrà una discontinuità, in particolare si avrà che
$\lim_{x \to \1} {(x^2-1)^2]'*(\sin(\frac{1}{x^2-1})' = infty $ sia da destra che da sinistra, quindi la discontinuità è di seconda specie ma a noi poco importa...
per trovare i punti di non derivabilità devo svolgere la derivata quindi
y'=$[(x^2-1)^2]'*[\sin(\frac{1}{x^2-1})]+[(x^2-1)^2]*[\sin(\frac{1}{x^2-1})]'$
dato che è la derivata di un prodotto
fatta la derivata devo trovare il suo dominio, giusto?
quindi diventa
y'= $x^4+\cos(\frac{1}{x^2-1})+(x^2+4x+1)*[\sin(\frac{1}{x^2-1})]$
devo fare il dominio di questa derivata ( potete controllare se l'ho svolta bene)?
quindi in porssimità dei punti 1 e -1 si avrà una discontinuità, in particolare si avrà che
$\lim_{x \to \1} {(x^2-1)^2]'*(\sin(\frac{1}{x^2-1})' = infty $ sia da destra che da sinistra, quindi la discontinuità è di seconda specie ma a noi poco importa...
per trovare i punti di non derivabilità devo svolgere la derivata quindi
y'=$[(x^2-1)^2]'*[\sin(\frac{1}{x^2-1})]+[(x^2-1)^2]*[\sin(\frac{1}{x^2-1})]'$
dato che è la derivata di un prodotto
fatta la derivata devo trovare il suo dominio, giusto?
quindi diventa
y'= $x^4+\cos(\frac{1}{x^2-1})+(x^2+4x+1)*[\sin(\frac{1}{x^2-1})]$
devo fare il dominio di questa derivata ( potete controllare se l'ho svolta bene)?
Le discontinuità non sono di seconda specie e questo fatto "ci importa" tantissimo.
"gugo82":
Le discontinuità non sono di seconda specie e questo fatto "ci importa" tantissimo.
come? Puoi farmi vedere o spiegarmelo
Calcolando bene il limite si capisce che non ci sono discontinuità "vere".
Infatti si ha:
\[
\lim_{x\to \pm 1} (x^2-1)^2\ \sin \frac{1}{x^2-1} = 0
\]
quindi la funzione \(f\) ha due discontinuità eliminabili in \(\pm 1\); per eliminarle basta considerare il prolungamento per continuità di \(f\) a tutto \(\mathbb{R}\), cioè la funzione (che con abuso chiamiamo sempre con \(f\)):
\[
f(x) := \begin{cases}
(x^2-1)^2\ \sin \frac{1}{x^2-1} &\text{, se } x\neq \pm 1\\
0 &\text{, se } x=\pm 1\; .
\end{cases}
\]
Di questa, adesso, devi studiare la derivabilità.
Come fai?
Infatti si ha:
\[
\lim_{x\to \pm 1} (x^2-1)^2\ \sin \frac{1}{x^2-1} = 0
\]
quindi la funzione \(f\) ha due discontinuità eliminabili in \(\pm 1\); per eliminarle basta considerare il prolungamento per continuità di \(f\) a tutto \(\mathbb{R}\), cioè la funzione (che con abuso chiamiamo sempre con \(f\)):
\[
f(x) := \begin{cases}
(x^2-1)^2\ \sin \frac{1}{x^2-1} &\text{, se } x\neq \pm 1\\
0 &\text{, se } x=\pm 1\; .
\end{cases}
\]
Di questa, adesso, devi studiare la derivabilità.
Come fai?
"gugo82":
Calcolando bene il limite si capisce che non ci sono discontinuità "vere".
Infatti si ha:
\[
\lim_{x\to \pm 1} (x^2-1)^2\ \sin \frac{1}{x^2-1} = 0
\]
scusa perchè esce così?? il limite non è:
\[
\lim_{x\to \pm 1} (x^2-1)^2\ \sin \frac{1}{x^2-1} = 0* \sin \frac{1}{infty}
\]
??
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