Derivata Seconda di una funzione
Salve a tutti, ho una funzione
\(\displaystyle f(x)=\frac{1+\sqrt[3]{x}}{2-\sqrt[3]{x}} \)
di cui devo disegnare il grafico, studiandola. Per la derivata prima non ho problemi e mi torna
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}(2-\sqrt[3]{x})^2} \)
Dovrei calcolare la derivata seconda per lo studio di concavità, convessità e flessi, ma non mi riesce proprio farla, ho usato la regola della derivata di un quoziente (va bene vero?), vi giuro che ho riempito pagine e pagine di quaderno... Qualche anima gentile che mi mostra passaggio passaggio? Vi ringrazio!
P.S. : Il risultato dovrebbe essere \(\displaystyle f''(x)=\frac{-4}{3}\frac{1-\sqrt[3]{x}}{x\sqrt[3]{x^2}(2-\sqrt[3]{x})^3} \)
\(\displaystyle f(x)=\frac{1+\sqrt[3]{x}}{2-\sqrt[3]{x}} \)
di cui devo disegnare il grafico, studiandola. Per la derivata prima non ho problemi e mi torna
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}(2-\sqrt[3]{x})^2} \)
Dovrei calcolare la derivata seconda per lo studio di concavità, convessità e flessi, ma non mi riesce proprio farla, ho usato la regola della derivata di un quoziente (va bene vero?), vi giuro che ho riempito pagine e pagine di quaderno... Qualche anima gentile che mi mostra passaggio passaggio? Vi ringrazio!
P.S. : Il risultato dovrebbe essere \(\displaystyle f''(x)=\frac{-4}{3}\frac{1-\sqrt[3]{x}}{x\sqrt[3]{x^2}(2-\sqrt[3]{x})^3} \)
Risposte
Si la regola del quoziente è corretta.
Ma dipende se la applichi bene..magari prova a scrivere i primi passaggi così troviamo anche l'errore:
ad esempio
il denomimatore a me risulta $[root(3) (x^2) (2-root(3)(x)) ^2]^2=root(3) (x^4) (2-root(3)(x))^4$ a te?
Al denominatore tieni presente che devi solo porre la derivata del denominatore (il segno meno che comparirebbe si annulla con quello esistente) che a sua volta si calcola usando la regola del prodotto di funzioni e di funzione composta.
Ma dipende se la applichi bene..magari prova a scrivere i primi passaggi così troviamo anche l'errore:
ad esempio
il denomimatore a me risulta $[root(3) (x^2) (2-root(3)(x)) ^2]^2=root(3) (x^4) (2-root(3)(x))^4$ a te?
Al denominatore tieni presente che devi solo porre la derivata del denominatore (il segno meno che comparirebbe si annulla con quello esistente) che a sua volta si calcola usando la regola del prodotto di funzioni e di funzione composta.
Ok, però per calcolare bene la derivata seconda la prima deve essere giusta! 
Probabilmente hai sbagliato a digitarla:
$f(x)=(1+root(3)(x))/(2-root(3)(x))$
$Rightarrow f'(x)=(d/(dx) [1+root(3)(x)](2-root(3)(x))-d/(dx)[2-root(3)(x)](1+root(3)(x)))/(2-root(3)(x))^2=1/(root(3)(x^2)(root(3)(x)-2)^2)$
$Rightarrow f''(x)=(d/(dx)[1](root(3)(x^2)(root(3)(x)-2)^2)-d/(dx)[root(3)(x^2)(root(3)(x)-2)^2] cdot 1)/(root(3)(x^2)(root(3)(x)-2)^2)^2$
Prova a farlo passo passo.
Probabilmente hai sbagliato a digitarla:
$f(x)=(1+root(3)(x))/(2-root(3)(x))$
$Rightarrow f'(x)=(d/(dx) [1+root(3)(x)](2-root(3)(x))-d/(dx)[2-root(3)(x)](1+root(3)(x)))/(2-root(3)(x))^2=1/(root(3)(x^2)(root(3)(x)-2)^2)$
$Rightarrow f''(x)=(d/(dx)[1](root(3)(x^2)(root(3)(x)-2)^2)-d/(dx)[root(3)(x^2)(root(3)(x)-2)^2] cdot 1)/(root(3)(x^2)(root(3)(x)-2)^2)^2$
Prova a farlo passo passo.
@Lali
Al denominatore mi viene come viene a te.
Al numeratore l'operazione da svolgere è:
\(\displaystyle -\frac{d}{dx} [\sqrt[3]{x^2}(2-\sqrt[3]{x})^2]=\)
\(\displaystyle =-(\frac{d}{dx}[\sqrt[3]{x^2}](2-\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x^2}\frac{d}{dx}[(2-\sqrt[3]{x})^2])= \)
\(\displaystyle =-(\frac{2}{\sqrt[3]{x}}(2-\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x^2}2(2-\sqrt[3]{x})(-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}))=\)
Giusto???? L'unico dubbio che ho (se il resto non è sbagliato), è la derivata di \(\displaystyle (2-\sqrt[3]{x})^2 \) che mi viene (come da sopra) \(\displaystyle 2(2-\sqrt[3]{x})(-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}})\) giusto?!?
Grazie per qualsiasi risposta!
Al denominatore mi viene come viene a te.
Al numeratore l'operazione da svolgere è:
\(\displaystyle -\frac{d}{dx} [\sqrt[3]{x^2}(2-\sqrt[3]{x})^2]=\)
\(\displaystyle =-(\frac{d}{dx}[\sqrt[3]{x^2}](2-\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x^2}\frac{d}{dx}[(2-\sqrt[3]{x})^2])= \)
\(\displaystyle =-(\frac{2}{\sqrt[3]{x}}(2-\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x^2}2(2-\sqrt[3]{x})(-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}))=\)
Giusto???? L'unico dubbio che ho (se il resto non è sbagliato), è la derivata di \(\displaystyle (2-\sqrt[3]{x})^2 \) che mi viene (come da sopra) \(\displaystyle 2(2-\sqrt[3]{x})(-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}})\) giusto?!?
Grazie per qualsiasi risposta!
Risoltooooo!! Un grazie di cuore a tutti!
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