Una questione sulle costanti di Lipschitz
Buonasera a tutti,
vi sottopongo la seguente questione.
Data una funzione [tex]f:[t_0,t_f]\times \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^m[/tex], definito un prodotto scalare [tex]<\cdot,\cdot>[/tex] su [tex]\mathbb{R}^m[/tex] e denotata con [tex]||\cdot||[/tex] la norma indotta da esso, un numero reale [tex]M[/tex] si dice costante di Lipschitz di destra per f se vale che:
[tex]< f(t,y)-f(t,z),y-z > \leq M||y-z||^2,\quad \forall t\in [t_0,t_f],\;\forall y,z\in\mathbb{R}^m[/tex].
Devo provare che se la stessa [tex]f[/tex] di cui sopra è Lipschitziana in senso classico rispetto alla stessa norma, cioè [tex]\exists L>0: ||f(t,y)-f(t,z)|| \leq L||y-z||,\quad \forall t\in [t_0,t_f],\;\forall y,z\in\mathbb{R}^m[/tex], allora esiste una costante di Lipschitz di destra [tex]M[/tex] tale che [tex]|M|\leq L[/tex].
Sfruttando la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz ho mostrato facilmente che invece la costante è la stessa! In molti testi, infatti, viene scritto proprio ciò che ho provato. Tuttavia in altri testi si fornisce la suddetta relazione tra le due costanti (ferme restando le ipotesi, fra l'altro minimaliste, su [tex]f[/tex]).
Avreste qualche idea riguardante la questione?
Vi ringrazio anticipatamente.
Andrea
vi sottopongo la seguente questione.
Data una funzione [tex]f:[t_0,t_f]\times \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^m[/tex], definito un prodotto scalare [tex]<\cdot,\cdot>[/tex] su [tex]\mathbb{R}^m[/tex] e denotata con [tex]||\cdot||[/tex] la norma indotta da esso, un numero reale [tex]M[/tex] si dice costante di Lipschitz di destra per f se vale che:
[tex]< f(t,y)-f(t,z),y-z > \leq M||y-z||^2,\quad \forall t\in [t_0,t_f],\;\forall y,z\in\mathbb{R}^m[/tex].
Devo provare che se la stessa [tex]f[/tex] di cui sopra è Lipschitziana in senso classico rispetto alla stessa norma, cioè [tex]\exists L>0: ||f(t,y)-f(t,z)|| \leq L||y-z||,\quad \forall t\in [t_0,t_f],\;\forall y,z\in\mathbb{R}^m[/tex], allora esiste una costante di Lipschitz di destra [tex]M[/tex] tale che [tex]|M|\leq L[/tex].
Sfruttando la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz ho mostrato facilmente che invece la costante è la stessa! In molti testi, infatti, viene scritto proprio ciò che ho provato. Tuttavia in altri testi si fornisce la suddetta relazione tra le due costanti (ferme restando le ipotesi, fra l'altro minimaliste, su [tex]f[/tex]).
Avreste qualche idea riguardante la questione?
Vi ringrazio anticipatamente.
Andrea
Risposte
Nessuna idea?!
Prendi \(f(t,x) = \max\{-x, 0\}\). Hai che \((f(t,y) - f(t,z))\cdot (y-z) \leq 0\), dal momento che \(f\) è monotona decrescente nella seconda variabile. Di conseguenza \(f\) è Lipschitziana a destra con costante \(M=0\).
D'altra parte \(f\) è Lipschitziana con costante \(L=1\).
D'altra parte \(f\) è Lipschitziana con costante \(L=1\).
Quindi è sufficiente portare questo esempio per mostrare quanto richiesto?
Come mai allora in alcuni testi (ed io stesso l'ho mostrato), risulta che le due costanti sono uguali?
Come mai allora in alcuni testi (ed io stesso l'ho mostrato), risulta che le due costanti sono uguali?
La costante di Lipschitz bilatera (\(L\)) ovviamente va bene anche come costante di Lipschitz destra, quindi in tal caso puoi scegliere \(M=L\).
Il viceversa non è vero, dal momento che una funzione può essere Lipschitziana a destra ma non essere Lipschitziana; considera ad esempio la funzione
\[
f(x) := \begin{cases}
\sqrt{-x}, & \text{if}\ x < 0,\\
0, & \text{if}\ x\geq 0.
\end{cases}
\]
Questo è quanto; di ciò che riportano i testi non ti saprei dire.
Il viceversa non è vero, dal momento che una funzione può essere Lipschitziana a destra ma non essere Lipschitziana; considera ad esempio la funzione
\[
f(x) := \begin{cases}
\sqrt{-x}, & \text{if}\ x < 0,\\
0, & \text{if}\ x\geq 0.
\end{cases}
\]
Questo è quanto; di ciò che riportano i testi non ti saprei dire.
Evidentemente i testi non sono stati chiari a sufficienza.
Il tuo ragionamento mi è sembrato efficace.
Un'ultima cosa: l'ultimo esempio è un caso particolare di quello che mi hai proposto nel tuo precedente post (verificato per [tex]M=0[/tex]), giusto?
Il tuo ragionamento mi è sembrato efficace.
Un'ultima cosa: l'ultimo esempio è un caso particolare di quello che mi hai proposto nel tuo precedente post (verificato per [tex]M=0[/tex]), giusto?
No, mi correggo subito: la prima era anche Lipschitziana in senso classico!
Sorry!
Sorry!
L'ultimo esempio mostra una funzione Lipschitziana a destra (con \(M=0\); in questo senso è una variante dell'esempio precedente) ma non Lipschitziana.
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