Analisi matematica di base

se [tex]\displaystyle f\in C^{1}: xf(x)+x^{2}f{'}(x)=\cfrac{x+1}{1+e^{xf(x)}},x>0[/tex] 1)dobbiamo dimostrare che [tex]f(x)=\cfrac{lnx}{x},x>0[/tex] 2)[tex]\displaystyle se \ a\in(1,e): e^{\int_a^{e}\frac{1}{lnx}dx}>(\cfrac{e}{a})^{e}[/tex] 3)trovare i [tex]\displaystyle a,b>0: a^{b}b^{a}=e^{\cfrac{2ab}{e}}[/tex] dionisio

Ciao a tutti, sul mio libro leggo che se $Omega$ è misurabile secondo Lebesgue e ha misura finita, si ha che: $1<=p<r<=+oo$ si ha $L^r(Omega)subL^p(Omega)$. Qualcuno di voi sa dove posso reperire la dimostrazione ? Mi piacerebbe vedere perchè e come viene usata l'ipotesi che $Omega$ abbia misura finita. Grazie in anticipo

prima di tutto buongiorno dalla Grecia .Ho un esercizio per voi,studenti e non .. se abbiamo la funzione [tex]f \in C^{1}: (f{'}(x)+f(x))e^{2x}=f(x)-f{'}(x) ,x\in R[/tex] siamo a ricerca della [tex]f[/tex]

Salve ragazzi, ho una curiosità da porvi. Cosa significa che la trasformata di Fourier è uguale a 1? C' è qualche teorema che può darmi informazioni al riguardo. Oppure qualche teorema che dice che l'integrale di una funzione è uguale a 1 la sua funzione integranda sarà uguale a qualcos'altro? grazie

Se ho una forma differenziale continua definita su un insieme "brutto" (i.e. un insieme che non sia convesso, che non sia un aperto stellato etc...) tipo il piano bucato \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\), come stabilisco se essa è esatta? So che se \(\omega: D \to X^{*}\) è una forma differenziale continua con \(D\) aperto di \(X\) spazio reale di dimensione finita allora \(\omega\) è esatta \(\Longleftrightarrow\) per ogni circuito \(\gamma\) di \(D\) si ha \(\int_{\gamma} \omega =0\)... ma ...

Ciao ragazzi, vi chiedo un link o una spiegazione sulla dimostrazione della trasformata di Fourier a partire dalla forma complessa della serie di Fourier. Sono entrato tardi in aula, e non ho capito bene cosa stesse facendo il professore. Probabilmente quella che chiedo è solo una dimostrazione euristica (non sono sicuro) Comunque il mio professore si è ricavato la trasformata di Fourier (in frequenza) dividendo il coefficiente di Fourier della serie $c_n$ (ma quale?) per ...

Salve a tutti, premetto che sono alle prime armi con gli integrali doppi, quindi siate buoni Devo calcolare per quali valori di $q >=0$, posto $0<= t<=1$ e $0<= s<=1$ si ha $\int_0^1 \int_0^1 |t-s|^{1/2-q} $ $\text{d}s$ $\text{d}t < oo$ Intanto ho provato a risolverlo per integrazioni semplici (si puo?) $\int_0^1 ( \int_0^1 |t-s|^{1/2-q} \quad \text{d}s)$ $\text{d}t$ Quindi, se $t>=s$, ho $ \int_0^1 (t-s)^{1/2-q} \quad \text{d}s=<br /> {(-ln|t-s| \quad |_0^1,if q=3/2),((-(t-s)^(3/2-q))/(3/2-q)\quad |_0^1,if q!=3/2):}= {(-ln|t-1| + ln |t|,if q=3/2),((-(t-1)^(3/2-q) + t^(3/2-q))/(3/2-q),if q!=3/2):}$ Per le condizioni su $t$, si ha $ \int_0^1 (t-s)^{1/2-q} \quad \text{d}s={(-ln(1-t) + ln(t),if q=3/2),((-(t-1)^(3/2-q) + t^(3/2-q))/(3/2-q),if q!=3/2):}$ Se ...

Ciao a tutti, avrei bisogno di un aiuto per questo esercizio. Classificare i punti critici della funzione: $f(x,y)=arctg(x+y)-x^2/2-y/5$ Non riesco a trovare i punti in cui le derivate parziali si annullano. Le ho calcolate e sono: $fx=1/(1+(x+y)^2)-x$ $fy=1/(1+(x+y)^2)-1/5$ Volevo sapere se esiste un metodo più veloce per trovare e classificare i punti stazionari oppure esso sia "standard". Grazie

Salve a tutti, ho un dubbio sulla procedura di risoluzione di queste equazioni complesse: $ z^6-z^3+1=0 $ L'ho risolta ponendo $w=z^3$ ottenendo quindi un'equazione di secondo grado le cui soluzioni sono $ 1/2 \pm i sqrt(3)/2 $ e quindi, ritornando a $ z $ avrei $ z=(root(3) ( 1/2 \pm i sqrt(3)/2))$. A questo punto ho trovato le 3 radici di $ z $ nel caso in cui la parte immaginaria è positiva e 3 nel caso in cui è negativa, in modo da avere complessivamente 6 soluzioni. E' ...

Ciao a tutti! Ho cominciato ora a studiare le serie di potenze e non riesco a risolvere questo esercizio: Trovare raggio di convergenza e somma di $sum_{n=0}^oo (-2)^n (n+2)/(n+1) z^n$ Per il raggio di convergenza non è un problema, si trova facilmente. Per la somma però non saprei come fare! Guardando anche dove si trova questo esercizio nel libro immagino che il metodo risolutivo sia derivare questa serie fino a trovare una serie con somma nota e poi integrare! Però non riesco in nessun modo derivando a ...

Ho le seguenti due equazioni differenziali da risolvere: 1)[tex]y \prime = (y^2 - 1)\frac{x}{1+x^2}[/tex] a) Trovare le soluzioni stazionarie; b) Risolvere il problema di Cauchy dato dall'aggiunta della condizione iniziale [tex]y(0) = -3[/tex] Risoluzione: E' una equazione differenziale del primo ordine omogenea a variabili separabili quindi analizzo la continuità di [tex]f(x)=\frac{x}{1+x^2}[/tex] e [tex]g(y)=(y^2-1)[/tex] ovvero le funzioni che la compongono. Da ciò ottengo subito che ...

Innanzitutto buona giornata a tutti! 1)Ho il seguente integrale doppio da risolvere: [tex]\iint_{T}\,2\mid x\mid y\, dx\,dy[/tex] dove [tex]T[/tex] è il rettangolo di vertici [tex](-2,0),(0,2)[/tex] e [tex](2,0)[/tex]. Analizzando la funzione ottengo che [tex]f(x,y) =f(-x,y)[/tex], ovvero la funzione è pari e simmetrica rispetto all'asse delle [tex]x[/tex]. Essendo anche il dominio di integrazione simmetrico rispetto a tale asse deduco che: [tex]\iint_{T}\,2\mid x\mid y\, dx\,d y = ...

Salve a tutti. Ho questo problema. Dato il segnale $2\pi$ periodico, nell'intervallo $(-1,1)$ definito da: ${ ( 0se -1<= t<= 0 ),(1se0<=t<= 1 ):}$ Devo calcolarmi i coefficienti $c_{k}$ della serie di Fourier, cioè $\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)dt$. Ora faccio un pò di confusione a capire quale sia il periodo. Disegnando il grafico direi che è $2$, ma il testo dice $2\pi$ periodico. Qualcuno mi può chiarire il dubbio e dirmi gli estremi giusti? Grazie mille ..

Ciao ragazzi sto cercando di risolvere questo esercizio: Trovare $ a,b,c in C $ che minimizzano il valore dell'integrale: $ int_(-1)^(1) |x^3-a-bx-cx^2|^2 dx $ Il libro mi mette una soluzione che non riesco a capire, la riporto qui: Le funzioni: $ f_0(x)=1 $, $ f_1(x)=x $ , $ f_2(x)=x^2 $ , $ f_3(x)=x^3 $ definiscono degli elementi dello spazio di Hilbert $ L^2(-1,1) $ e l'integrale da minimizzare rappresenta il quadrato della distanza tra f3 e un generico elemento del sottospazio ...

Salve a tutti, avrei un problema con questa serie : $ sum_(n = \1) (3n+1)^n/(n!)*x^(5n) $ (la somma va da 1 a $ +oo $ ) ; mi viene richiesto per quali $ x in \R $ conclude il criterio del rapporto dell'ordine di infinitesimo. Io ho proceduto in questo modo: ho utilizzato il criterio del rapporto: $ lim_(n -> oo) |(3(n+1)+1)^(n+1)/((n+1)!)*x^(5n+1)|/(|((3n+1)^n)/(n!)*x^(5n)| $ e facendo vari passaggi ho ottenuto questo: $ |((3n+4)^(n+1)*x)/((n+1)(3n+1)^n)| $ il problema è che non so più come andare avanti, dal momento che non posso semplificare più nulla! avrei davvero bisogno ...

Devo studiare i punti estremanti della seguente $f(x,y) = 3x^2-2y^2-sqrt(x^2+y^2) $ limitata alla regione $ T: {x^2+y^2<=1) $ Ho cominciato subito con il calcolo del gradiente, ho visto che le due derivate parziali non sono definite nell'origine,e che quest'ultime si annullano lungo tutti i punti di frontiera della circonferenza, dato che (togliendo il denominatore delle derivate parziali) ottengo: rispetto a x: $x^2(36x^2+36y^2-1) = 0$ e $ y^2(16y^2+16x^2-1) = $ oltre che in $(0,0) $ (in cui la derivata non esiste) ...

salve a tutti, $ y^('')-2y^{\prime}+y=e^x+e^(2x) $ l ho risolta con il metodo delle variazioni delle costanti perche non penso si possa fare con le "funzioni simili" trovo la soluzione dell omogenea associata $ Phi 0=c1e^(2x)+c2xe^(2x) $ sappiamo che $ v0=gamma 1(x)e^(2x)+gamma 2(x)e^(2x) $ soluzione della non omogenea $ {( gamma^{\prime} 1(x)e^(2x)+gamma^{\prime} 2(x)xe^(2 x) =0 ), ( gamma^{\prime} 1(x)2e^(2x)+gamma^{\prime} 2(x)(e^(2x)+x2e^(2x)) =e^x+e^(2x)):} $ risolvendo il sistema trovo che $ gamma^{\prime}1=xe^(-x)+x $ e $ gamma^{\prime} 2(x)=e^(-x)+1 $ integrando trovo che $ gamma1=-xe^(-x)+e^(-x)+x^2/2 $ e $ gamma2=-e^(-x)+x $ quindi la soluzione finale sará $ y(x)=Phi0 +v0 $ noi sappiamo ...

Salve ragazzi. Potreste darmi una mano nel risolvere questo integrale? La traccia mi dice Evaluate the integral $\int_{|z|} z^n Lnz dz$ where n is an integer and 1) $Ln(1)=0$ 2)$Ln(-1)=\pi i$ __________________________ Io semplicemente ho parametrizzato la curva e sostituito nell'integrale nel seguente modo $\gamma(t)=e^{it}$ $\int_{-\pi }^{\pi} (e^{itn}) (it) (e^{it}) i dt $ prendendo il ramo principale del logaritmo cioè sono andato per calcolarmi l'integrale curvilineo, però non mi esce un risultato esatto. ...

Buon di Ho una questione da chiedere: Se assegnata una funzione definita in un sottoinsieme di R^n e a valori in R^m. Mi chiedo: la n-pla $(x1,x2,...,xn)$ sono le componenti del vettore nella base standard ? e in tal caso se cambiasse la base, le componenti cambiano secondo quanto imparato in algebra lineare. Allora la funzione su queste nuove componenti fornirà $f(y1,...,yn)" componenti non nella base standard.. Non so se mi sono spiegato. In altre parole se il dominio della ...

Salve, sto facendo un esercizio di automatica e sto cercando di risolvere un sistema attinente ad un esercizio: $\{(4*x^2-u=0),(y+3sqrt(x)=0):}$ Ecco, devo risolvere questo sistema in u... Dalla prima equazione ottengo due soluzioni: $x=+sqrt(u/4)$ e $x=-sqrt(u/4)$ Ecco, il libro nella soluzione, dice che la seconda equazione ha senso solo per la soluzione negativa della prima. E dice che la soluzione finale è dunque: $x=-sqrt(u/4)$ e $y=3sqrt(u/4)$ ! Altra cosa che non capisco! Ci sarebbe una ...