Equazione differenziale "variazione delle costanti"

[m911]

salve a tutti,
$ y^('')-2y^{\prime}+y=e^x+e^(2x) $
l ho risolta con il metodo delle variazioni delle costanti perche non penso si possa fare con le "funzioni simili"

trovo la soluzione dell omogenea associata $ Phi 0=c1e^(2x)+c2xe^(2x) $

sappiamo che $ v0=gamma 1(x)e^(2x)+gamma 2(x)e^(2x) $ soluzione della non omogenea

$ {( gamma^{\prime} 1(x)e^(2x)+gamma^{\prime} 2(x)xe^(2 x) =0 ), ( gamma^{\prime} 1(x)2e^(2x)+gamma^{\prime} 2(x)(e^(2x)+x2e^(2x)) =e^x+e^(2x)):} $

risolvendo il sistema trovo che $ gamma^{\prime}1=xe^(-x)+x $ e $ gamma^{\prime} 2(x)=e^(-x)+1 $
integrando trovo che $ gamma1=-xe^(-x)+e^(-x)+x^2/2 $ e $ gamma2=-e^(-x)+x $
quindi la soluzione finale sará
$ y(x)=Phi0 +v0 $

noi sappiamo che le soluzioni di un EDO non omogenea é un campo vettoriale e che le soluzioni dell omogenea associata sono linear. indip., e tramite la loro comb lineare possiamo trovare la soluzione della non omogenea, quindi come mai il procedimento ci permette di di scrivere la 1 eq.ne del sistema? cioé xke si pone=0, grazie.

[Brancaleone1]

$y''(x)-2y'(x)+y(x)=e^(x)+e^(2x)$

Soluzione omogenea associata:
$lambda^2-2lambda+1=0$
$=>(lambda-1)^2=0$
$=>y_0=e^x(c_1+c_2x)$

Soluzione particolare:
$y_p=ae^(2x)+bx^2e^x$
$y'_p=2ae^(2x)+b(2xe^x+x^2e^x)$
$y''_p=4ae^(2x)+b(2e^x+4xe^x+x^2e^x)$

$=>4ae^(2x)+b(2e^x+4xe^x+x^2e^x)-2[2ae^(2x)+b(2xe^x+x^2e^x)]+ae^(2x)+bx^2e^x=$
$=ae^(2x)+2be^x=e^x+e^(2x)$

$=>{ ( a=1 ),( 2b=1 ):}=>{ ( a=1 ),( b=1/2 ):}$

$=>y_p=e^(2x)+1/2x^2e^x$

e quindi

$y=y_0+y_p=e^x(c_1+c_2x)+e^(2x)+1/2x^2e^x$