Trasformazioni di R^n in R^m; base negli spazi vettoriali

[Mino_01]

Buon di

Ho una questione da chiedere:
Se assegnata una funzione definita in un sottoinsieme di R^n e a valori in R^m.

Mi chiedo: la n-pla $(x1,x2,...,xn)$ sono le componenti del vettore nella base standard ?
e in tal caso se cambiasse la base, le componenti cambiano secondo quanto imparato in algebra lineare.
Allora la funzione su queste nuove componenti fornirà $f(y1,...,yn)" componenti non nella base standard..



Non so se mi sono spiegato.

In altre parole se il dominio della funzione è tra componenti in una base come cambia la funzione al
cambiare delle basi...

Grazie a tutti
Mino_01

[Maci86]

Facciamo un esempio sciocco, prendi la funzione $x+y^2+1/z$, se vuoi calcolarlo in un'altra base, devi riscriverlo attraverso un cambio di base
Prendiamo la base $((1,1,1),(1,1,0),(1,0,0))$, questo ci dice che
$\{(x=z'),(y=y'-z'),(z=x'-y'):}$
Ora non ti resta che fare le sostituzione e ottieni le nuove equazioni

[Mino_01]

infatti è come pensavo:

data una base b in $R^n$, d in $R^m$ e una applicazione $f$ da $R^n$, in $R^m$.
detta H la matrice di passaggio dalla base b alla base canonica in $R^n$;
detta T la matrice di passaggio dalla base canonica alla base d in $R^m$;

L' automorfismo di di R^n di matrice H rispetto alle basi b e standard di $R^n$;
L' automorfismo di di R^m di matrice T rispetto alle basi standard e d di $R^m$;

per cambiamenti di base la funzione di partenza, dovrebbe trasformarsi così componendo le trasformazioni:

nella base b di $R^n$, base d in $R^m$:

$T *f* HX'$

e dovrebbero valere (devo ancora verificarlo ) tutte proprietà di f: continuità, differenziabilità...

cosa ne pensate ?

[Maci86]

Esatto, funzionano proprio come hai detto! Solo che potresti avere anche cambi di base non lineari in Analisi

[Mino_01]

Grazie Mac
per cortesia conosci qualche testo rigoroso dove poter approfondire ...

[Maci86]

Sicuramente sul De Marco sono trattati, però sicuramente c'è gente più adatta di me per segnalarti buoni libri