Dubbio: Equivalenza nelle somme

[hannabeth]

Ho un dubbio atroce. E' da un po' che maneggio le formule di Taylor, ma ora mi è venuto un dubbio che non so come risolvere.
C'è un teorema che dice che l'equivalenza non vale nelle somme. Per come lo interpreto io vuol dire che nell'espressione
$ 1-e^x $
non posso sostituire all'esponenziale la sua formula di Taylor.
Tuttavia
$ 1-e^x ~ -x $ per x->0
Chi me lo spiega?

[Paolo902]

E' vero, "l'equivalenza non vale nelle somme" (la frase è un po' generica e imprecisa, ma ho capito che cosa intendi). Ad ogni modo, nel tuo caso funziona tutto e non serve scomodare Taylor o equivalenze particolari. E' semplicemente l'approssimazione al prim'ordine della funzione \(x \mapsto 1-e^x\); la ricavi immediatamente dal limite notevolissimo
\[
\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}=1.
\]

[hannabeth]

Quindi questa sostituzione si può fare anche nelle somme?

[Paolo902]

Ma hai letto il mio intervento di sopra? Ti ho scritto: è vero, in generale "l'equivalenza non vale nelle somme".

In questo caso, però, non vedere la tua funzione come una "somma di due funzioni": la consideri come un pezzo solo e, memore del limite notevole, concludi.