Criterio di Eisenstein e coefficienti nulli
Ciao a tutti,
sto facendo esercizio sull'irriducibilità di polinomi e dovrei usare il criterio di Eisenstein per controllare $ [f(x) = x^n - p] in Q $, con $ n in N $ e $ p $ numero primo.
$ f $ è monico, quindi è primitivo e di grado $n>0$;
posso inoltre considerare il polinomio in $ Z[x] $ invece che in $ Q[x] $ per poter applicare il criterio di Eisensein:
$ (i) $ $ p $ non divide $ a_n = 1 $ (ok)
$ (ii) $ $ p $ divide $a_0$ (ok), ma dato che $ a_n-1 = ... = a_1 = 0$, p non divide questi coefficienti
$ (iii) $ $p^2$ non divide $ a_0 = -p$ (ok)
la mia domanda è: Il fatto che i coefficienti $a_i$ con $ 1<=i<=n-1 $ siano tutti nulli mi preclude la possibilità di utilizzare questo criterio per dimostrare l'irriducibilità di $f$ ?
Grazie in anticipo
sto facendo esercizio sull'irriducibilità di polinomi e dovrei usare il criterio di Eisenstein per controllare $ [f(x) = x^n - p] in Q $, con $ n in N $ e $ p $ numero primo.
$ f $ è monico, quindi è primitivo e di grado $n>0$;
posso inoltre considerare il polinomio in $ Z[x] $ invece che in $ Q[x] $ per poter applicare il criterio di Eisensein:
$ (i) $ $ p $ non divide $ a_n = 1 $ (ok)
$ (ii) $ $ p $ divide $a_0$ (ok), ma dato che $ a_n-1 = ... = a_1 = 0$, p non divide questi coefficienti
$ (iii) $ $p^2$ non divide $ a_0 = -p$ (ok)
la mia domanda è: Il fatto che i coefficienti $a_i$ con $ 1<=i<=n-1 $ siano tutti nulli mi preclude la possibilità di utilizzare questo criterio per dimostrare l'irriducibilità di $f$ ?
Grazie in anticipo
Risposte
Qual è la tua definizione di divisibilità? Cioè quando $x | y$, con $x, y \in \mathbb{Z}$ e $x != 0$?
"Shocker":
Qual è la tua definizione di divisibilità? Cioè quando $x | y$, con $x, y \in \mathbb{Z}$ e $x != 0$?
Esatto
Esatto cosa?
Non hai risposto alla domanda.
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