Dubbio sull'irriducibilità dei polinomi in in Zn[X]
Salve ragazzi,come potete vedere la traccia richiede di determinare le radici del polinomio in $ Z_2 $ ed eventualmente scomporlo in fattori non ulteriolmente scomponibili in $ Z_2 $.
Che il polinomio iniziale non abbia radici,nessun problema,quello che mi chiedo,ma perchè non è riducibile? Nell'ultima riga mi pare sia scritto il polinomio iniziale come prodotto tra due polinomi di 2 e 3 grado,non ulteriormente scomponibili in $ Z_2 $, dunque a mio parere DOVREBBE essere scomponibile visto che il polinomio di 3 grado non ha radici in $ Z_2 $,o forse basta il non avere radici in $ Z_2 $ a dire che il polinomio iniziale non è scomponibile?
Grazie in anticipo.
Che il polinomio iniziale non abbia radici,nessun problema,quello che mi chiedo,ma perchè non è riducibile? Nell'ultima riga mi pare sia scritto il polinomio iniziale come prodotto tra due polinomi di 2 e 3 grado,non ulteriormente scomponibili in $ Z_2 $, dunque a mio parere DOVREBBE essere scomponibile visto che il polinomio di 3 grado non ha radici in $ Z_2 $,o forse basta il non avere radici in $ Z_2 $ a dire che il polinomio iniziale non è scomponibile?
Grazie in anticipo.
Risposte
Scusa ma è riducibile, è il prodotto di due termini irriducibili, c'è anche scritto nella soluzione. Non capisco qual è il tuo dubbio sull'esercizio.
Inoltre il fatto di non avere radici nel campo in cui si considera il polinomio non implica che quest'ultimo sia irriducibile, un esempio banale è $(x^2 + 1)^2$ in $\mathbb{R}[x]$.
Inoltre il fatto di non avere radici nel campo in cui si considera il polinomio non implica che quest'ultimo sia irriducibile, un esempio banale è $(x^2 + 1)^2$ in $\mathbb{R}[x]$.
"Shocker":
Scusa ma è riducibile, è il prodotto di due termini irriducibili, c'è anche scritto nella soluzione. Non capisco qual è il tuo dubbio sull'esercizio.
Inoltre il fatto di non avere radici nel campo in cui si considera il polinomio non implica che quest'ultimo sia irriducibile, un esempio banale è $(x^2 + 1)^2$ in $\mathbb{R}[x]$.
Infatti è questo il problema,si richiede che i polinomi NON siano ulteriolmente scomponibili in Z2,quindi quello lo è e non va preso in considerazione.
Ok.
Sia $f \in \mathbb{K}[x]$ di grado $2$ o $3$, se $f$ non ha radici in $\mathbb{K}$ allora è irriducibile(la dimostrazione è facile, falla per esercizio). Per polinomi di grado superiore il non avere radici non implica necessariamente l'essere irriducibili.
Sia $f \in \mathbb{K}[x]$ di grado $2$ o $3$, se $f$ non ha radici in $\mathbb{K}$ allora è irriducibile(la dimostrazione è facile, falla per esercizio). Per polinomi di grado superiore il non avere radici non implica necessariamente l'essere irriducibili.
Questo lo so,nel caso il cui grado sia >3 bisogna scomporlo come prodotto tra polinomi,nel caso di un polinomio di grado 5,diventerebbe il prodotto di due polinomi di grado 2 e 3,che però devono essere irriducibili!
Non necessariamente, potrebbe essere anche prodotto di due polinomi di grado $2$ e di un polinomio di grado $1$.
Ma precisamente, qual è il dubbio? Perché l'autore della soluzione ha scelto proprio un polinomio di grado $2$ e uno di grado $3$?
Edit: o forse non ti è chiaro perché i fattori della scomposizione devono essere irriducibili?
Ma precisamente, qual è il dubbio? Perché l'autore della soluzione ha scelto proprio un polinomio di grado $2$ e uno di grado $3$?
Edit: o forse non ti è chiaro perché i fattori della scomposizione devono essere irriducibili?
Esatto,non mi è chiaro il perchè debbano essere irriducibili,presumo perchè altrimenti arriveremmo ad un polinomio di grado 1 che ha radice ma non sono sicuro.
I polinomi di grado $1$ sono irriducibili, chiaramente, poiché $f$ non ha radici allora non può essere scomposto in fattori di primo grado o prodotto di fattori di cui almeno uno è di grado uno.
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