Ancora sugli omomorfismi...
Ciao 
si consideri il gruppo additivo delle funzioni continue in $[0,1]$ a valori reali $RR$(che chiamerò $G$)
si consideri l'insieme,
si mostri che $N$ è normale in $G$. A cosa è isomorfo $G/N$?
per prima cosa $G$ è abeliano quindi sul fatto che $N$ sia normale non c'è dubbio.
Vedendo un generico laterale,
l'idea è che $G$ sia isomorfo a $RR$ e non c'è niente di elegante nel ragionamento perchè ho pensato proprio questo: 'va be prendo una retta passante per $(a,f(a))$ e la faccio girare, ne ottengo tante'
nel costruire l'isomorfismo ho pensato di ottenere l'isomorfismo sfruttando il teorema fondamentale di omomorfismo.
$F:G->RR$ definita come $F(g)=g(a),forall g inG$
è ben definita poichè per ogni funzione $g$ esiste un solo valore in $RR$ che valga $g(a)$
è un omomorfismo di gruppi visto che $F(g+h)=(g+h)(a)=g(a)+h(a)=F(g)+F(h)$
il nucleo è $Ker(F)={g inG:g(a)=0}=N$ pertanto per concludere che $G/N cong RR$ devo mostrare che $F$ sia un epimorfismo.
sia $x inRR$ devo mostrare che esiste una funzione $g inG:T(f)=x$ ovvero $f(a)=x$ ma basta prendere la funzione $f(x)=3x$ che sicuramente in $1/3$ mi vale $x$
gol?
si consideri il gruppo additivo delle funzioni continue in $[0,1]$ a valori reali $RR$(che chiamerò $G$)
si consideri l'insieme,
$N={f inG:f(a)=0}, a=1/3$
si mostri che $N$ è normale in $G$. A cosa è isomorfo $G/N$?
per prima cosa $G$ è abeliano quindi sul fatto che $N$ sia normale non c'è dubbio.
Vedendo un generico laterale,
$[f]={g inG: f(a)=g(a)}$
l'idea è che $G$ sia isomorfo a $RR$ e non c'è niente di elegante nel ragionamento perchè ho pensato proprio questo: 'va be prendo una retta passante per $(a,f(a))$ e la faccio girare, ne ottengo tante'
nel costruire l'isomorfismo ho pensato di ottenere l'isomorfismo sfruttando il teorema fondamentale di omomorfismo.
$F:G->RR$ definita come $F(g)=g(a),forall g inG$
è ben definita poichè per ogni funzione $g$ esiste un solo valore in $RR$ che valga $g(a)$
è un omomorfismo di gruppi visto che $F(g+h)=(g+h)(a)=g(a)+h(a)=F(g)+F(h)$
il nucleo è $Ker(F)={g inG:g(a)=0}=N$ pertanto per concludere che $G/N cong RR$ devo mostrare che $F$ sia un epimorfismo.
sia $x inRR$ devo mostrare che esiste una funzione $g inG:T(f)=x$ ovvero $f(a)=x$ ma basta prendere la funzione $f(x)=3x$ che sicuramente in $1/3$ mi vale $x$
gol?
Risposte
E' giusto, e il tuo argomento intuitivo si formalizza proprio così: esiste un omomorfismo di gruppi \(G\to \mathbb R\), definito mandando $f$ in \(f(1/3)\), che ha $N$ come nucleo. Tale omomorfismo è suriettivo (per ogni numero reale trovi almeno una funzione che, valutata in 1/3, fa quel numero), e quindi \(G/N\cong \mathbb R\).
In realtà una cosa l’ho sbagliata. La funzione era $f(t)=(3x)t$ perché altrimenti mi faceva $f(1/3)=1$ 
"anto_zoolander":
In realtà una cosa l’ho sbagliata. La funzione era $f(t)=(3x)t$ perché altrimenti mi faceva $f(1/3)=1$
Questo ultimo commento non ha alcun senso, chi è $x$, chi è $t$?
Ma che stai dicendo!
Il mio intendo era di mostrare che comunque preso $x inRR$ esistesse $f inG$ tale che $T(f)=x$ ovvero che $f(a)=x$
Io ho preso la funzione definita come $f(t)=(3x)t$
Ha senso e come.
Il mio intendo era di mostrare che comunque preso $x inRR$ esistesse $f inG$ tale che $T(f)=x$ ovvero che $f(a)=x$
Io ho preso la funzione definita come $f(t)=(3x)t$
$T(f)=f(a)=(3x)*1/3=x$
Ha senso e come.
Ah, certo, $x$ è l'elemento che ti hanno dato 
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