Simmetria di una relazione
Mi è venuta questa perplessità dopo tempo:
dato un insieme $A$ e una relazione binaria $RsubseteqAtimesA$
si usa scrivere che $R$ è simmetrica se
questo significa letteralmente che per ogni coppia di $x,y inA$, se $(x,y) inR$ allora $(y,x)inR$.
domanda: significa che tale proprietà agisce solo sulle coppie di elementi che sono in relazione e non su qualsiasi coppia di elementi dell'insieme, giusto?
mi sono posto questa domanda, perchè se si dovesse avere una relazione di equivalenza e dovesse essere possibile confrontare ogni coppia di elementi, allora avremmo che tutti gli elementi sarebbero in relazione e pertanto si avrebbe un'unica classe di equivalenza, nonché l'insieme stesso.
In definitiva suppongo che valga solo per le coppie in relazione.
Come mi ha insegnato un buon professore: 'la domanda di uno è il dubbio di molti', quindi la propongo
dato un insieme $A$ e una relazione binaria $RsubseteqAtimesA$
si usa scrivere che $R$ è simmetrica se
$forallx,y inA, (x,y)inR => (y,x) inR$
questo significa letteralmente che per ogni coppia di $x,y inA$, se $(x,y) inR$ allora $(y,x)inR$.
domanda: significa che tale proprietà agisce solo sulle coppie di elementi che sono in relazione e non su qualsiasi coppia di elementi dell'insieme, giusto?
mi sono posto questa domanda, perchè se si dovesse avere una relazione di equivalenza e dovesse essere possibile confrontare ogni coppia di elementi, allora avremmo che tutti gli elementi sarebbero in relazione e pertanto si avrebbe un'unica classe di equivalenza, nonché l'insieme stesso.
In definitiva suppongo che valga solo per le coppie in relazione.
Come mi ha insegnato un buon professore: 'la domanda di uno è il dubbio di molti', quindi la propongo
Risposte
Beh, tecnicamente la proprietà vale per ogni $x,y\inA$, infatti c'è proprio scritto, il punto è che la proprietà ti dice che SE $(x,y)\inR$, ALLORA $(y,x)\inR$, quindi non è che ogni coppia del tipo $(y,x)$ sta in $R$ ma solamente le coppie per le quali riesci a dimostrare che $(x,y)\inR$.
Nel caso in cui hai una relazione simmetrica e totale, cosa succede? Se prendiamo due qualsiasi $x$ e $y$ in $A$, abbiamo che $(x,y)\inR$ oppure $(y,x)\inR$ (per definizione di relazione totale), ma allora per la simmetria hai che $(x,y),(y,x)\inR$, che vuol dire che tutti gli elementi sono in relazione con tutti gli altri (con "tutti gli altri" non intendo solo quelli diversi, loro stessi sono inclusi).
Nel caso in cui hai una relazione simmetrica e totale, cosa succede? Se prendiamo due qualsiasi $x$ e $y$ in $A$, abbiamo che $(x,y)\inR$ oppure $(y,x)\inR$ (per definizione di relazione totale), ma allora per la simmetria hai che $(x,y),(y,x)\inR$, che vuol dire che tutti gli elementi sono in relazione con tutti gli altri (con "tutti gli altri" non intendo solo quelli diversi, loro stessi sono inclusi).
Grazie per la risposta 
La proprietà vale per ogni coppia di elementi dell'insieme.
quello che intendo è che se per esempio se una relazione è simmetrica, possono tranquillamente esistere $x,y inA:(x,y)notinRwedge(y,x)notinR$ escludendo il fatto che appunto sia totale.
Quindi in particolare è una proprietà che agisce su tutti gli elementi dell'insieme che sono però confrontabili, giusto? anche perchè se $existsx,yinA:(x,y)notinRwedge(y,x)notinR$ allora $(x,y)inR=>(y,x) inR$ è comunque vera.
Poi se la relazione è totale, allora chiaramente questo non può accadere.
Un esempio di quello che dico è la relazione di uguaglianza, che è una relazione di equivalenza, ma in genere non tutti gli elementi sono confrontabili.
La proprietà vale per ogni coppia di elementi dell'insieme.
quello che intendo è che se per esempio se una relazione è simmetrica, possono tranquillamente esistere $x,y inA:(x,y)notinRwedge(y,x)notinR$ escludendo il fatto che appunto sia totale.
Quindi in particolare è una proprietà che agisce su tutti gli elementi dell'insieme che sono però confrontabili, giusto? anche perchè se $existsx,yinA:(x,y)notinRwedge(y,x)notinR$ allora $(x,y)inR=>(y,x) inR$ è comunque vera.
Poi se la relazione è totale, allora chiaramente questo non può accadere.
Un esempio di quello che dico è la relazione di uguaglianza, che è una relazione di equivalenza, ma in genere non tutti gli elementi sono confrontabili.
Quello che dici è giusto, comunque per il caso speciale dell'uguaglianza si può dire qualcosa di più preciso di quanto hai fatto te, infatti si può dire che per ogni elemento di $A$, lui non è confrontabile con ogni altro elemento diverso da lui.
"anto_zoolander":
'la domanda di uno è il dubbio di molti', quindi la propongo
eccomi, sono uno dei molti
.Ho sottomano questo esempio.
Sia $A={2, 4, 5}$.
Consideriamo la seguente relazione binaria $R={(x,y) \in A \times A : 2|(x-y)}$ ossia la classica relazione di congruenza modulo $2$. Allora la relazione $R$ definita nell'insieme $A$ è una relazione simmetrica ?
La mia risposta è si, anche se vale che $(2,5) \notin R$ e, ovviamente, $(5,2) \notin R$. Giusto ?
Non lo sarebbe stata laddove si fosse verificato che $(2,5) \in R$ non implicava anche $(5,2) \in R$
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