Dal gruppo diedrale $D_4$ individuare $Aut(D_4)$ e $I(D_4)$
Dato un poligono regolare di quattro lati considero il gruppo diedrale $D_4$ composto dalle permutazioni che di $S_4$ che trasformano in sè il poligono.
Voglio contare tutti gli automorfismi $Aut(D_4)$ e contare tutti gli automorfismi interni $I(D_4)$
Definite con $a$ le rotazioni in senso orario rispetto al centro di simmetria e con $b$ la rotazione rispetto all'asse passante per il centro e per il vertice $1$ abbiamo:
$D_4={id, a, a^2, a^3, b, (a \circ b), (b \circ a), (a^2 \circ b)}$
dove $id=a^4=(a^2)^2=(a^3)^4=b^2=(a \circ b)^2=(b \circ a)^2=(a^2 \circ b)^2$
Ho $D_4$ di ordine $8$ ed è finitamente generato dagli elementi $a, b, a \circ b, b \circ a, a^2 \circ b$ aventi ordine
$o(a)=4, o(b)=2, o(a \circ b)=2, o(b \circ a)=2, o(a^2 \circ b)=2$
Sia $f \in Aut(D_4)$, allora $f$ deve trasformare $a$ in un elemento di ordine $4$, cioè in $a$ ovvero in $a^3$, $f$ trasforma poi $b$ in un elemento di ordine $2$ cioè in $b$ oppure in $(a \circ b)$ o in $(b \circ a)$ o in $(a^2 \circ b)$. Proseguendo, $f$ trasforma $(a \circ b)$ in un elemento di ordine due, escluso un elemento di ordine $2$ che è già immagine di $b$ secondo $f$, così per $(a \circ b)$ ho tre possibilità. Con lo stesso ragionamento ho $2$ possibilità per $(b \circ a)$ ed infine una sola possibilità per $(a^2 \circ b)$.
In tutto conto $2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 48$ automorfismi. Fin qui è corretto ? Altri modi più veloci ?
Ora passando agli automorfismi interni, oltre l'identità mi sembra che anche l'elemento $a^2$ commuti con tutti gli altri elementi (qui ho provato i prodotti prima a destra e poi a sinistra di $a^2$ per ognuno degli elementi di $D_4$), quindi il centro del gruppo è $Z(D_4)={id, a^2}$ ed è normale in $D_4$.
Allora per Lagrange ho $o(D_4//Z(D_4))=\frac{o(D_4)}{o(Z(D_4))}=8/2=4$ così il gruppo quoziente $D_4//Z(D_4)$ consta di $4$ elementi ed essendo $D_4//Z(D_4)~=I(D_4)$ ho in tutto $4$ automorfismi interni.
Corretto ?
Se si, c'è un modo per poter individuare tra i $48$ automorfismi i $4$ automorfismi interni senza procedere con i conti ?
Voglio contare tutti gli automorfismi $Aut(D_4)$ e contare tutti gli automorfismi interni $I(D_4)$
Definite con $a$ le rotazioni in senso orario rispetto al centro di simmetria e con $b$ la rotazione rispetto all'asse passante per il centro e per il vertice $1$ abbiamo:
$D_4={id, a, a^2, a^3, b, (a \circ b), (b \circ a), (a^2 \circ b)}$
dove $id=a^4=(a^2)^2=(a^3)^4=b^2=(a \circ b)^2=(b \circ a)^2=(a^2 \circ b)^2$
Ho $D_4$ di ordine $8$ ed è finitamente generato dagli elementi $a, b, a \circ b, b \circ a, a^2 \circ b$ aventi ordine
$o(a)=4, o(b)=2, o(a \circ b)=2, o(b \circ a)=2, o(a^2 \circ b)=2$
Sia $f \in Aut(D_4)$, allora $f$ deve trasformare $a$ in un elemento di ordine $4$, cioè in $a$ ovvero in $a^3$, $f$ trasforma poi $b$ in un elemento di ordine $2$ cioè in $b$ oppure in $(a \circ b)$ o in $(b \circ a)$ o in $(a^2 \circ b)$. Proseguendo, $f$ trasforma $(a \circ b)$ in un elemento di ordine due, escluso un elemento di ordine $2$ che è già immagine di $b$ secondo $f$, così per $(a \circ b)$ ho tre possibilità. Con lo stesso ragionamento ho $2$ possibilità per $(b \circ a)$ ed infine una sola possibilità per $(a^2 \circ b)$.
In tutto conto $2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 48$ automorfismi. Fin qui è corretto ? Altri modi più veloci ?
Ora passando agli automorfismi interni, oltre l'identità mi sembra che anche l'elemento $a^2$ commuti con tutti gli altri elementi (qui ho provato i prodotti prima a destra e poi a sinistra di $a^2$ per ognuno degli elementi di $D_4$), quindi il centro del gruppo è $Z(D_4)={id, a^2}$ ed è normale in $D_4$.
Allora per Lagrange ho $o(D_4//Z(D_4))=\frac{o(D_4)}{o(Z(D_4))}=8/2=4$ così il gruppo quoziente $D_4//Z(D_4)$ consta di $4$ elementi ed essendo $D_4//Z(D_4)~=I(D_4)$ ho in tutto $4$ automorfismi interni.
Corretto ?
Se si, c'è un modo per poter individuare tra i $48$ automorfismi i $4$ automorfismi interni senza procedere con i conti ?
Risposte
"algibro":
Ora passando agli automorfismi interni, oltre l'identità mi sembra che anche l'elemento $a^2$ commuti con tutti gli altri elementi (qui ho provato i prodotti prima a destra e poi a sinistra di $a^2$ per ognuno degli elementi di $D_4$), quindi il centro del gruppo è $Z(D_4)={id, a^2}$.
Ho trovato in un testo un teoremino che qui, per un certo verso, mi assicura di non aver sbagliato i conti.
Se $o(G)=p^n$, dove $p$ è un numero primo, allora si ha $Z(G) \ne {e}$.
Nel mio caso $o(D_4)=2^3$ e $Z(D_4)={id, a^2} \ne {id}$.
Rimane da capire come individuare i $4$ automorfismi interni.
molto bene, grazie mille !
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