Centro di un gruppo(e altro)

[anto_zoolander]

Ciao

Dovevo mostrare che il centro di un gruppo è un sottogruppo normale.
prendo $(G,phi)$ gruppo e $Z(G)$ il suo centro

$Z(G)g={phi(h,g) inG: h inZ(G)}$

$gZ(G)={phi(g,h) inG: h inZ(G)}$

chiaramente essendo $h inZ(G)$ abbiamo che $phi(h,g)=phi(g,h)$ per definizione stessa di centro di un gruppo. Dato che gli elementi di $Z(G)$ commutano con tutti gli elementi del gruppo, dovranno commutare anche con un particolare elemento

$x inZ(G)g <=> exists h inZ(G): x=phi(h,g)=phi(g,h) <=> x ingZ(G)$

quindi $forallg inG, Z(G)g=gZ(G)$ da cui segue che $Z(G)$ è normale in $G$

poi c'era questa, che però metto in spoiler

posto \(\displaystyle \mathbb{S^{1}} \mathrm{ =\{ z \in \mathbb{C}: ||z||=1 \}} \) come si mostra che \(\displaystyle \mathbb{R/Z \cong S^{1}} \) ?

[killing_buddha]

\(t\mapsto e^{2\pi i t}\) e' un morfismo di gruppi suriettivo di nucleo $ZZ$.

[anto_zoolander]

Perfetto.